山东省泰安肥城市2021届高三数学高考适应性训练试卷（一）

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U$ ，集合 $P ， S$ 是 $U$ 的非空子集，且 $S \subseteq ∁_{U} P$ ，则必有（）

A、 $P \subseteq ∁_{U} S$ B、 $P \subseteq S$ C、 $∁_{U} P = ∁_{U} S$ D、 $P \cap (∁_{U} S) = \emptyset$

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2. 若复数 $z = \frac{2 + i}{1 + 2 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{2})$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $| 2 \vec{a} - 3 \vec{b} |$ $=$ （）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、21 C、 $\sqrt{21}$ D、 $6 \sqrt{3}$

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4. $(1 - \frac{3}{x^{2}}) {(1 + x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数（）

A、5 B、10 C、-10 D、-5

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5. 《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状 $(A B = B C)$ 容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占 $A B$ 的（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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6. 已知 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，双曲线 $C$ 的右支上一点 $Q$ 满足 $| O Q | = | O F_{1} |$ ，直线 $F_{1} Q$ 与该双曲线的左支交于 $P$ 点，且 $P$ 恰好为线段 $F_{1} Q$ 的中点，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm 2 \sqrt{3} x$ D、 $y = \pm 3 \sqrt{2} x$

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7. 已知函数 $f (x) = x + x \ln x$ ， $g (x) = k x - k$ ，若 $k \in Z$ ，且 $f (x) > g (x)$ 对任意 $x > e^{2}$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

8. 劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定了社会主义建设者和接班人的劳动价值取向､劳动精神面貌和劳动技能水平.新学期到来，某大学开出了烹饪选修课，共18学时，面向2020级本科生和强基计划学生开放.该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测.甲说：“小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食.”乙说：“小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心.”丙说：“小华选的不是烹制中式面食，也不是青椒土豆丝.”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容（）

A、可能是青椒土豆丝 B、可能是川菜干烧大虾 C、可能是烹制西式点心 D、一定是烹制中式面食

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9. 已知线段 $A B$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ 的一条动弦， $G$ 为弦 $A B$ 的中点， $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，直线 $l_{1} ： m x - y + 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + m y + 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $P$ ，下列说法正确的是（）

A、弦 $A B$ 的中点轨迹是圆 B、直线 $l_{1} ， l_{2}$ 的交点 $P$ 在定圆 ${(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 上 C、线段 $P G$ 长的最大值为 $6 + \sqrt{5}$ D、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值 $18 - 8 \sqrt{5}$

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10. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是边长为 $\sqrt{3}$ 正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E 、 F$ 分别为 $P D 、 A B$ 的中点，过 $C 、 E 、 F$ 的平面与 $P A$ 交于点 $G$ ，则（）

A、 $P G = 2 A G$ B、 $P F / / C E$ C、以 $P$ 为球心，2为半径的球面与底面 $A B C D$ 的交线长为 $\frac{π}{2}$ D、四棱锥 $P - A B C D$ 外接球体积为3π

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11. 已知 $a > b > 0$ ， $a + b = 2$ ，则（）

A、 $\sqrt{a} + b$ 的最大值是 $\frac{9}{4}$ B、 $2^{a} + 2^{b + 1}$ 的最小值是 $4 \sqrt{2}$ C、 $a + \sin b < 2$ D、 $b + \ln a > 1$

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12. 巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由欧拉在1735年解决.由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题，马上就出名了，当时他28岁.这个问题是精确计算所有平方数倒数的和，也就是以下级数的和 $M = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \dots$ .巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，欧拉发现 $M$ 的准确值是 $\frac{π^{2}}{6}$ .不过遗憾的是：若把上式中的指数2换成其他的数，例如 $N = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} = \frac{1}{1^{3}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \dots$ ，则 $N$ 的精确值为多少，至今未解决.下列说法正确的是（）

A、所有正奇数的平方倒数和为 $\frac{π^{2}}{8}$ B、记 $P = \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} - \frac{1}{6^{2}} + \dots$ ，则 $P$ 的值为 $\frac{π^{2}}{12}$ C、 $N$ 的值不超过 $\frac{29}{24}$ D、记 $Q = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots$ ，则存在正常数 $λ$ ，使得对任意正整数 $Q < λ$ ，恒有 $Q < λ$

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三、填空题

13. 已知 $α$ 为第四象限角， $\sin (α + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{10}$ ，则 $\tan α$ 的值为.

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14. 某新闻采访组由 $5$ 名记者组成，其中甲､乙､丙､丁为成员，戊为组长.甲､乙､丙､丁分别来自 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个地区.现在该新闻采访组要到 $A 、 B 、 C 、 D$ 四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同.则所有采访的不同安排方法有种.

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15. 设抛物线 $y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $A ， B$ 两点，过 $A B$ 的中点 $M$ 作 $y$ 轴的垂线与抛物线交于点 $P$ ，若 $| P F | = \frac{3}{2}$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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16. 某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为 $P (X = k) = \frac{1}{m} C_{10}^{k} (k = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)$ （ $m$ 为参数），则这个随机变量 $X$ 的数学期望 $E (X) =$ .

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四、解答题

17. 已知 $S_{n}^{}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{3} = 2$ ，且 $4 a_{1} ， 3 S_{2} ， 2 S_{3}$ 是等差数列 ${b_{n}}$ 的前三项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(2)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并求使得 $a_{n} > b_{n}^{}$ 的 $n$ 的取值范围.

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18. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $2 b \sin A \cos B$ $= (2 c - b) \sin B$ .

(1)、求A；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求周长 $l$ 的取值范围.

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19. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.
① $\vec{B A} \cdot (\vec{P A} + \vec{P D}) = 0$ ；② $P C = \sqrt{7}$ ；③点 $P$ 在平面 $A B C D$ 的射影在直线 $A D$ 上.如图，平面五边形 $P A B C D$ 中， $△ P A D$ 是边长为 $2$ 的等边三角形， $A D // B C$ ， $A B = 2 B C = 2$ ， $A B ⊥ B C$ ，将 $△ P A D$ 沿 $A D$ 翻折成四棱锥 $P - A B C D$ ， $E$ 是棱 $P D$ 上的动点（端点除外）， $F 、 M$ 分别是 $A B 、 C E$ 的中点，且___________.

(1)、求证： $A B ⊥ F M$ ；

(2)、当 $E F$ 与平面 $P A D$ 所成角最大时，求平面 $A C E$ 与平面 $P A D$ 所成的锐二面角的余弦值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 平面上一动点 $C$ 的坐标为 $(\sqrt{2} \cos θ ， \sin θ)$ .

(1)、求点 $C$ 轨迹 $E$ 的方程；

(2)、过点 $F_{1} (- 1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 相交于不同的两点 $M ， N$ ，线段 $M N$ 的中垂线与直线 $l$ 相交于点 $P$ ，与直线 $x = - 2$ 相交于点 $Q$ .当 $| M N | = | P Q |$ 时，求直线 $l$ 的方程.

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21. 十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要.纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”.某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流､大束流､高能､特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28 $nm$ ，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案.此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献.该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k)$

$0.050$

$0.010$

$0.005$

$0.001$

$k$

$3.841$

$6.635$

$7.879$

$10.828$

(1)、在试产初期，该款芯片的 $I$ 批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为 $P_{1} = \frac{1}{35}$ ， $P_{2} = \frac{1}{34}$ ， $P_{3} = \frac{1}{33}$ .
①求批次 $I$ 芯片的次品率 $P_{I}$ ；

②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次 $I$ 的芯片智能自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.

(2)、已知某批次芯片的次品率为 $P (0 < P < 1)$ ，设100个芯片中恰有1个不合格品的概率为 $φ (p)$ ，记 $φ (p)$ 的最大值点为 $P_{0}$ ，改进生产工艺后批次 $J$ 的芯片的次品率 $P_{J} = P_{0}$ .某手机生产厂商获得 $I$ 批次与 $J$ 批次的芯片，并在某款新型手机上使用.现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查.据统计，回访的100名用户中，安装 $I$ 批次有40部，其中对开机速度满意的有28人；安装 $J$ 批次有60部，其中对开机速度满意的有57人.求 $P_{0}$ ，并判断是否有 $99 .9%$ 的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - a x + \frac{a}{x}$ $(a > 0)$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性，并证明： $(1 + \frac{1}{2^{2}}) (1 + \frac{1}{3^{2}}) (1 + \frac{1}{4^{2}}) \cdot \cdot \cdot (1 + \frac{1}{n^{2}}) < e^{\frac{3}{4}} (n \in N^{*} ， n \geq 2)$ ；

(2)、若函数 $y = f (x)$ 与 $y = - \frac{3 a}{x} + \ln 2$ 的图象恰有三个不同的交点，求实数 $a$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	$0.050$	$0.010$	$0.005$	$0.001$
$k$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$