山东省济宁市2020-2021学年高三上学期数学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ， $B = {x | y = \ln (x - 1)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 2]$ B、 $(0 ， 2]$ C、 $(2 ， + \infty)$ D、 $[2 ， + \infty)$

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2. 若复数 $\frac{a + i}{3 + 2 i}$ （ $i$ 为虚数单位）为纯虚数，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3. 若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{\sin 2 a}{1 + \cos^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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4. “ $a = 1$ ”是“直线 $a x + (2 a - 1) y + 3 = 0$ 与直线 $(a - 2) x + a y - 1 = 0$ 互相垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（）

A、36种 B、48种 C、72种 D、144种

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6. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点为 $F$ ，过 $F$ 作斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，若线段 $A B$ 中点的纵坐标为 $\sqrt{3}$ ，则抛物线 $C$ 的方程是（）

A、 $y^{2} = 3 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 6 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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7. 已知函数 $f (x)$ （ $x \in R$ ）的导函数是 $f^{'} (x)$ ，且满足 $\forall x \in R$ ， $f (1 + x) = - f (1 - x)$ ，当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{x - 1} f (x) + \ln (x - 1) \cdot f^{'} (x) > 0$ ，则使得 $(x - 2) f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， - 1) \cup (1 ， 2)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题

8. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d$ 均为实数，下列说法正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $\frac{c}{a} > \frac{c}{b}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a c > b d$ D、若 $a + b = 1$ ， $4^{a} + 4^{b} \geq 4$

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9. 直线 $l$ 过点 $P (1 ， 2)$ 且与直线 $x + a y - 3 = 0$ 平行．若直线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则实数 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $| φ | = \frac{π}{2}$ ），其图象相邻两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且直线 $x = - \frac{π}{12}$ 是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增 C、点 $(- \frac{5 π}{24} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象

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11. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $∠ A B C = 60 °$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B M$ 沿直线 $A M$ 翻折成 $△ A B_{1} M$ ，连接 $B_{1} C$ 和 $B_{1} D$ ， $N$ 为 $B_{1} D$ 的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）

A、 $A M ⊥ B_{1} C$ B、 $C N$ 的长为定值 C、 $A B_{1}$ 与 $C N$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ D、当三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的体积最大时，三棱锥 $B_{1} - A M D$ 的外接球的表面积是8π

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三、填空题

12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 2 x ， x \leq 1 \\ \ln x ， x > 1 \end{array}$ ，则 $f (f (e)) =$ ．

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13. 二项式 ${(x - \frac{3}{x})}^{4}$ 的展开式的常数项是．

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $A D = 1$ ， $P$ 是矩形 $A B C D$ 内的动点，且点 $P$ 到点 $A$ 距离为1，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最小值为．

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15. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为 $F$ ，两渐近线分别为 $l_{1}$ ： $y = \frac{b}{a} x$ ， $l_{2}$ ： $y = - \frac{b}{a} x$ ．过 $F$ 作 $l_{1}$ 的垂线，垂足为 $M$ ，该垂线交 $l_{2}$ 于点 $N$ ， $O$ 为坐标原点．若 $| O F | = | F N |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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四、解答题

16. 在① $a \sin C = c \sin (A + \frac{π}{3})$ ；② $2 c \cos A = a \cos B + b \cos A$ ；③ $b^{2} + c^{2} = a^{2} + b c$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若已知 $b = 3$ ， $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{3}$ ， ▲ ，求 $a$ 的值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一解答计分．

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17. 已知数列 ${a_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{3} + b_{2} = 8$ ， $a_{5} = b_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 、数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} + b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ），求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 如图，三棱锥 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是边长为2的正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形， $∠ A_{1} A C = 60 °$ ， $E$ 是 $B B_{1}$ 的中点， $F$ 是 $A C_{1}$ 与 $A_{1} C$ 的交点．

(1)、求证： $E F //$ 底面 $A B C$ ；

(2)、求 $B C$ 与平面 $A_{1} A B$ 所成角 $θ$ 的正弦值．

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19. 某市为提高市民的健康水平，拟在半径为200米的半圆形区域内修建一个健身广场，该健身广场（如图所示的阴影部分）分休闲健身和儿童活动两个功能区，图中矩形 $A B C D$ 区域是休闲健身区，以 $C D$ 为底边的等腰三角形区域 $P C D$ 是儿童活动区， $P$ ， $C$ ， $D$ 三点在圆弧上， $A B$ 中点恰好在为圆心 $O$ ．设 $∠ C O B = θ$ ，健身广场的面积为 $S$ ．

(1)、求出 $S$ 关于 $θ$ 的函数解析式；

(2)、当角 $θ$ 取何值时，健身广场的面积最大？

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20. 已知函数 $f (x) = \ln x - a (1 - \frac{1}{x}) + 1 (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x) > 0$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上恒成立，求整数 $a$ 的最大值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，点 $(\sqrt{3} ， \sqrt{2})$ 在椭圆 $C$ 上， $A$ 、 $B$ 分别为椭圆 $C$ 的上、下顶点，动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点，满足 $A P ⊥ A Q$ ， $A H ⊥ P Q$ ，垂足为 $H$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、求 $△ A B H$ 面积的最大值．

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