山东省菏泽市2021届高三数学二模试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | x^{2} - x - 2 \geq 0}$ ，则 $C_{Z} A =$ （）

A、{0} B、{1} C、{0，1} D、{-1，0，1}

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2. 若复数 $z = 1 - i$ ，则 $| z^{2} - 2 z |$ =（）

A、0 B、2 C、4 D、6

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3. 如图，洛书（古称龟书）是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）

A、30 B、40 C、42 D、44

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4. 下列说法错误的是（）

A、用相关指数 $R^{2}$ 来刻画回归效果， $R^{2}$ 越小说明拟合效果越好 B、已知随机变量 $X ~ N (5 ， σ^{2})$ ，若 $P (x < 1) = 0.1$ ，则 $P (x \leq 9) = 0.9$ C、某人每次投篮的命中率为 $\frac{3}{5}$ ，现投篮5次，设投中次数为随机变量 $Y$ ．则 $E (2 Y + 1) = 7$ D、对于独立性检验，随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 值越小，判定“两分类变量有关系”犯错误的概率越大

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5. 已知函数 $f (x) = \sin (x + \frac{π}{3}) \cos x - \frac{\sqrt{3}}{4}$ 的图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若 $g (x_{1}) \cdot g (x_{2}) = \frac{1}{4} (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、π D、2π

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6. 已知直线l与圆x²+y²=8相切，与抛物线y²=4x相交于A，B两点， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ （O为坐标原点）直线l方程为（）

A、x+y-4=0或x-y+4=0 B、x-y-4=0或x+y-4=0 C、x+2y+4=0或x-2y-4=0 D、x-2y+4=0或x+2y+4=0

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7. 已知正整数n≥7，若 $(x - \frac{1}{x}) {(1 - x)}^{n}$ 的展开式中不含x⁵的项，则n的值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c \in (0 ， 3)$ ，且 $a^{5} = 5^{a}$ 、 $b^{4} = 4^{b}$ 、 $c^{3} = 3^{c}$ ，下列不等式正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是夹角为 $\frac{π}{3}$ 的两个单位向量， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ， $< \vec{a} + \vec{b} ， \vec{c} > = θ$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $| \vec{c} | < \sqrt{3}$ B、 $| \vec{c} | > \sqrt{3}$ C、 $\cos θ \geq \frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\cos θ \leq \frac{\sqrt{6}}{3}$

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10. 已知a>b>0，a+b=1．则下列结论正确的有（）

A、 $a + \sqrt{2 b}$ 的最大值为 $\frac{3}{2}$ B、 $2^{2 a} + 2^{2 b + 1}$ 的最小值为 $4 \sqrt{2}$ C、a+sinb<1 D、b+lna>0

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为双曲线C：x²– $\frac{y^{2}}{4}$ =1的左、右焦点，在双曲线右支上取一点P，使得PF₁⊥PF₂ ，直线PF₂与y轴交于点Q，连接QF₁ ， △PQF₁ ，的内切圆圆心为I，则下列结论正确的有（）

A、F₁ ， F₂ ， P，I四点共圆 B、△PQF₁的内切圆半径为1 C、I为线段OQ的三等分点 D、PF₁与其中一条渐近线垂直

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12. 已知函数 $f (x) = \frac{\sin π x}{e^{x} + e^{1 - x}}$ ，则下列结论正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 是周期函数 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在 $(1 ， 2)$ 上先减后增 D、函数 $f (x)$ 既有最大值又有最小值

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三、填空题

13. 写出一个同时满足下列两个条件的非常数函数
①当 $x_{1} x_{2} \geq 0$ 时， $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；② $f (x)$ 为偶函数

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14. 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，若侧面BCC₁B₁（含边界）内动点P满足BP=2PC，则线段DP长度的最大值为．

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15. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})$ ，则不超过 $\frac{1}{S_{1}} + \frac{1}{S_{2}} + \dots + \frac{1}{S_{2025}}$ 的最大整数是．

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16. 某射击运动员每次击中目标的概率为 $\frac{4}{5}$ ，现连续射击两次．

(1)、已知第一次击中，则第二次击中的概率是；

(2)、在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是．

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四、解答题

17. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $b^{2} = c ， \sin C = \sqrt{3} \sin B$ ，_________．
① $\sin C - \cos A \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} \sin A$ ；② $\frac{b \cos B}{c} = \sin B$ ；③ $a^{2} + c^{2} - b^{2} = \sqrt{3} a c$ ．

从以上三个条件中选择一个条件补充在题干中，完成下列问题．

(1)、求B；

(2)、求△ABC的面积．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} a_{n + 1} + 1 = 4 S_{n} (n \in N^{*})$

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、设 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ 数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} < \frac{2 n + 1}{n^{2}}$ 成立的 $n$ 的最大值．

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19. 如图①所示，平面五边形ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，∠B=90°且AD∥BC，若AD=2BC=2，AB= $\sqrt{3}$ ，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，现将△ADE沿AD折起，连接EB，EC得如图②的几何体．

图① 图②

(1)、若点M是ED的中点，求证：CM∥平面ABE；

(2)、若EC=2，在棱EB上是否存在点F，使得二面角E-AD-F的大小为60°？若存在，求出点F的位置；若不存在，请说明理由．

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20. “十四五”是我国全面建成小康社会、实现第一个百年奋斗目标之后，乘势而上开启全面建设社会主现代化国家新征程、向第二个百年奋斗目标进军的第一个五年，实施时间为2021年到2025年．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备加大研发资金投入，为了解年研发资金投入额 $x$ （单位：亿元）对年盈利额 $y$ （单位：亿元）的影响，通过对“十二五”和“十三五”规划发展10年期间年研发资金投入额 $x_{i}$ 和年盈利额 $y_{i}$ $(i = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ 数据进行分析，建立了两个函数模型：
$y = α + β x^{2}$ ； $y = e^{λ x + t}$ ，其中 $α$ ， $β$ ， $λ$ ， $t$ 均为常数， $e$ 为自然对数的底数

令 $u_{i} = x_{i}^{2} ， v_{i} = \ln y_{i}$ $(i = 1 ， 2 ， \dots ， 10)$ ，经计算得如下数据： $\bar{x} = 26$ ， $\bar{y} = 215$ ， $\bar{u} = 680$ ， $\bar{v} = 5.36$ ， ${\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x})}^{2} = 100$ ， $\sum_{i = 1}^{10} {(u_{i} - \bar{u})}^{2} = 22500$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (u_{i} - \bar{u}) (y_{i} - \bar{y}) = 260$ ， ${\sum_{i = 1}^{10} (y_{i} - \bar{y})}^{2} = 4$ ， ${\sum_{i = 1}^{10} (v_{i} - \bar{v})}^{2} = 4$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (v_{i} - \bar{v}) = 18$ ，问：

附：①相关系数r＝ $\frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$

回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 中： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$

参考数据： $\ln 2 = 0.693$ ， $\ln 5 = 1.609$ ．

(1)、请从相关系数的角度，分析哪一个模型拟合度更好？

(2)、根据（1）的选择及表中数据，建立， $y$ 关于 $x$ 的回归方程（系数精确到0.01）

(3)、若希望2021年盈利额y为500亿元，请预测2021年的研发资金投入额 $x$ 为多少亿元？（结果精确到0.01）

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 （ a > b > 0 ）$ 上的点到焦点的最大距离为3，最小距离为1

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过椭圆C右焦点F₂ ，作直线l与椭圆交于A，B两点（A，B不为长轴顶点），过点A，B分别作直线x=4的垂线，垂足依次为E，F，且直线AF，BE相交于点G．
①证明：G为定点；

②求△ABG面积的最大值．

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22. 已知函数f(x)=e^x-ax²-bx-1（a，b $\in$ R），e=2.71828…为自然对数的底数．

(1)、设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；

(2)、若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．

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