辽宁省丹东市五校2020-2021学年高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-10-09 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x \geq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - x - 6 \geq 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 2 \leq x < 3}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | - 2 < x \leq 3}$ D、 ${x | - 3 < x \leq 2}$

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2. 已知 $\overset{⇀}{O A} = (5 ， - 1) ， \overset{⇀}{O B} = (3 ， 2)$ ，则 $\vec{A B}$ 在复平面上所对应的复数是（）

A、 $5 - i$ B、 $3 + 2 i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $- 2 + 3 i$

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3. 已知 $a, b \in R$ ，则“ $a = 1$ ”是“直线 $a x + y - 1 = 0$ 和直线 $x + (a^{2} - 2) y - 1 = 0$ 垂直”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A、B、C、D、E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）

A、20 B、15 C、10 D、5

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5. $α$ ， $β$ 是两个平面， $m$ ， $n$ 是两条直线，则下列命题中错误的是（）

A、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，那么 $α ⊥ β$ B、如果 $m \subset α$ ， $α // β$ ，那么 $m // β$ C、如果 $α \cap β = l$ ， $m // α$ ， $m // β$ ，那么 $m // l$ D、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n // β$ ，那么 $α ⊥ β$

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6. 一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a_n}，若a₃=8，且a₁ ， a₃ ， a₇成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（　）

A、13，12 B、13，13 C、12，13 D、13，14

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7. $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ 在同一个球面上， $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形；三棱锥 $P - A B C$ 的体积最大值为 $18 \sqrt{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积为（）

A、 $\frac{64 π}{3}$ B、 $\frac{256 π}{3}$ C、64π D、256π

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8. 已知实数 $a = \frac{4}{3} e^{\frac{2}{3}}$ ， $b = \frac{6}{5} e^{\frac{4}{5}}$ ， $c = \frac{8}{7} e^{\frac{6}{7}}$ ，那么 $a$ ， $b$ ， $c$ 大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $c > b > a$ D、 $a > c > b$

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二、多选题

9. 对于二项式 ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{n} (n \in N^{*})$ ，以下判断正确的有（）

A、存在 $n \in N^{*}$ ，展开式中有常数项； B、对任意 $n \in N^{*}$ ，展开式中没有常数项； C、对任意 $n \in N^{*}$ ，展开式中没有 $x$ 的一次项； D、存在 $n \in N^{*}$ ，展开式中有 $x$ 的一次项.

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10. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + f (- x) = 0$ ， $f (x + 6) = - f (x)$ ，且 $\forall x_{1} ， x_{2} \in [- 3 ， 0]$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $x_{1} f (x_{1}) + x_{2} f (x_{2}) < x_{1} f (x_{2}) + x_{2} f (x_{1})$ ，则以下判断正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 在 $[- 9 ， - 6]$ 单调递增 C、 $x = 3$ 是函数 $f (x)$ 的对称轴 D、函数 $f (x)$ 的最小正周期是6

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11. 已知平面向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 为三个单位向量，且 $〈 \vec{O A} ， \vec{O B} 〉 = 120 °$ ，若 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B} (x ， y \in R)$ ，则 $x + y$ 的可能取值为（）

A、-1 B、0 C、 $\sqrt{2}$ D、3

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12. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有105根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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三、填空题

13. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 8 y + 13 = 0$ 截直线 $a x + y - 1 = 0$ 所得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $a =$

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14. 2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量 $ξ$ 服从正态分布 $ξ ~ N (1000 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ > 1200) = a$ ， $P (800 < ξ < 1200) = b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为.

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15. 一口袋中装有大小完全相同的红色、黄色、蓝色小球各一个，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回袋中继续摸球，当三种颜色都被记到就停止摸球，则恰好摸球五次就停止摸球的概率为.

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16. 某小区拟将如图的一直角三角形 $A B C$ 区域进行改建：在三边上各选一点连成等边三角形 $D E F$ ，在其内建造文化景观.已知 $A B = 20 \sqrt{7} m$ ， $A C = 10 \sqrt{7} m$ ，则 $△ D E F$ 区域面积（单位： $m^{2}$ ）的最小值大约为 $m^{2}$ .（保留到整数，参考数据： $\sqrt{7} \approx 2.65$ ； $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin (x + \frac{π}{4}) \cos (x + \frac{π}{4}) + \sin 2 x + a$ 的最大值为1.

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在区间 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最大值和最小值.

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18. 某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和3门学生自主选择的高中学业水平等级性考试科目成绩共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的态度，随机从中抽取了100名城乡学生家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05
$k_{0}$	2.706	3.841

(1)、根据已知条件与等高条形图完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口关”？

(2)、用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3人，记这3个家长中是城镇户口的人数为

X

，试求

X

的分布列及数学期望.

	赞成	不赞成	总计
城镇居民
农村居民
总计

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ 满足 $2 S_{n} = (n + 1) a_{n} (n \in N *)$ ，且 $a_{1} = 2$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = (a_{n} - 1) 2^{a_{n}}$ ．求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和T_n ．

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20. 在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A / / B E$ ， $B E = 2$ ， $A B = P A = 4$ .

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $P D$ 与平面 $P C E$ 所成角的正弦值；

(3)、在棱 $A B$ 上是否存在一点 $F$ ，使得二面角 $E - P C - F$ 的大小为 $60^{\circ}$ ？如果存在，确定点 $F$ 的位置；如果不存在，说明理由.

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21. 已知圆 $C$ ： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 4$ .

(1)、求经过点 $(2 ， 5)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程；

(2)、设直线 $l ： y = x + n$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点.若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 2$ ，求实数 $n$ 的值；

(3)、若点 $M$ 在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上，距离为4的两点 $P$ ， $Q$ 在圆 $C$ 上，求 $\vec{M P} \cdot \vec{M Q}$ 的最小值.

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22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln x + x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 上的最小值；

(2)、若 $f (x) \leq a {(x - 1)}^{3}$ ，求实数 $a$ 的值．

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