江西省吉安市重点高中2021届高三上学期文数第二次月考试卷

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合A={x||x|<3}，B={x||x|>1}，则A $\cup$ B=（）

A、 $R$ B、 $(1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， - 1) \cup (1 ， 3)$ D、{–2，2}

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2. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = \tan (- x)$ C、 $y = - e^{- x}$ D、 $y = {\begin{array}{l} - x + 2 ， x \leq 0 \\ - x - 2 ， x > 0 \end{array}$

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3. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (m ， 1)$ ， $\overset{⇀}{b} = (3 ， m - 2)$ ，则 $m = 3$ 是 $\overset{⇀}{a}$ // $\overset{⇀}{b}$ 的（）

A、充要条件 B、既不充分也不必要条件 C、必要不充分条件 D、充分不必要条件

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4. 在 $△ A B C$ 所在的平面内有一点 $P$ ，如果 $2 \vec{P A} + \vec{P C} = \vec{A B} - \vec{P B}$ ，那么 $△ P B C$ 的面积与 $△ A B C$ 的面积之比是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 若 $α$ 为第三象限角，则（）

A、 $\cos 2 α > 0$ B、 $\cos 2 α < 0$ C、 $\sin 2 α > 0$ D、 $\sin 2 α < 0$

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6. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ， $A = 60 °$ ，则 $B$ 为（）

A、60° B、60°或120° C、30° D、30°或150°

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7. 已知函数 $f (x) = - x + 1 + \log_{2} x$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集是（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， 1) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(0 ， 1) \cup (2 ， + \infty)$

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8. 据《九章算术》记载，商高是我国西周时期的数学家，曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，比毕达哥拉斯早500年.如图，现有 $△ A B C$ 满足“勾3股4弦5”，其中 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点 $D$ 是 $C B$ 延长线上的一点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A D}$ =（）

A、3 B、4 C、9 D、不能确定

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9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，将点 $A (2 ， 1)$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 到点 $B$ ，设直线 $O B$ 与 $x$ 轴正半轴所成的最小正角为 $α$ ，则 $\sin α$ 等于（）

A、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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10. 在△ABC中，AB＝5，AC＝6，cos A＝ $\frac{1}{5}$ ，O是 $△ A B C$ 的内心，若 $\vec{O P}$ ＝x $\vec{O B}$ ＋y $\vec{OC}$ ，其中x，y∈[0，1]，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）

A、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{14 \sqrt{6}}{3}$ C、4 $\sqrt{3}$ D、6 $\sqrt{2}$

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11. 已知 $f (x) = a \ln x - x^{2}$ 在区间 $(0 ， 1)$ 内任取两个不相等的实数 $p 、 q$ ，不等式 $\frac{f (p) - f (q)}{p - q} > 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(3 ， 5)$ B、 $(- \infty ， 3]$ C、 $(3 ， 5]$ D、 $[3 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} - x^{2} - x + 1 ， x < 0 \\ x^{2} - x + 1 ， x \geq 0 \end{matrix}$ ，若 $F (x) = f (x) - s i n (2020 π x) - 1$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上有 $m$ 个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， \dots ， x_{m}$ ，则 $f (x_{1}) + f (x_{2}) + f (x_{3}) + \dots + f (x_{m}) =$ （）

A、4042 B、4041 C、4040 D、4039

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二、填空题

13. 已知复数 $z = a^{2} i - 2 a - i$ 是负实数，则实数 $a$ 的值为．

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14. 已知 $\vec{a} ， \vec{b}$ 是单位向量， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ．若向量 $\vec{c}$ 满足 $| \vec{c} - \vec{a} - \vec{b} | = 1 ，则 | \vec{c} | 的最大值是$ .

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15. 如图，半径为 $\sqrt{3}$ 的扇形 $A O B$ 的圆心角为120°，点C在弧 $A B$ 上，且 $∠ C O B = 30 °$ ，若 $\vec{O C} = λ \vec{O A} + μ \vec{O B}$ ，则 $λ + μ =$ .

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = f (x + 2)$ ，且当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时， $f (x) = 2^{| x |}$ ，函数 $g (x) = x + \sqrt{2}$ ，实数a，b满足 $b > a > 3$ .若 $\forall x_{1} \in [a ， b]$ ， $\exists x_{2} \in [- \sqrt{2} ， 0]$ ，使得 $f (x_{1}) = g (x_{2})$ 成立，则 $b - a$ 的最大值为.

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三、解答题

17. 已知集合 $A = {x | - 3 \leq x < 0}$ ，集合 $B = {x | 2 - x > x^{2}}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = {x | 2 a \leq x \leq a + 2}$ ，且 $(A \cap B) \subseteq C$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) + B$ 的部分图象如图所示，其中 $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $| φ | < \frac{π}{2}$ .

（Ⅰ）求函数 $y = f (x)$ 解析式；

（Ⅱ）求 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，函数 $y = f (x)$ 的值域.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sin (ω x + φ) ， 2)$ ， $\vec{b} = (1 ， \cos (ω x + φ))$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{4}$ ）.函数 $f (x) = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$ ， $y = f (x)$ 的图象的相邻两对称轴之间的距离为2，且过点 $M (1 ， \frac{7}{2})$ .

(1)、求 $f (x)$ 图像的对称点坐标；

(2)、求 $f (0) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2014)$ 的值.

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20. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=60°.
（Ⅰ）若 $\sin A = 2 \sin C$ ， $b = \sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的面积；

（Ⅱ）若 $\sin C - \sin A = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，求角C.

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21. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = f (x)$ ，且当 $x \geq 1$ 时， $f (x) = lg (x + \frac{1}{x})$

(1)、求 $f (- 1)$ 的值；

(2)、解不等式 $f (2 - 2 x) < f (x + 3)$ ；

(3)、若关于x的方程 $f (x) = lg (\frac{a}{x} + 2 a)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上有解，求实数a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x (\ln x - a)$ ， $g (x) = \frac{1}{2} - \frac{e^{x}}{2}$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a = 1$ 时，
（i）求证：当 $0 < x < \frac{1}{e}$ 时， $f (x) < x^{2} - \frac{7}{3} x$ ；

（ii）若存在 $x_{0} \in (0 ， m]$ ，使得 $f (x_{0}) - g (m) \leq 0$ ，求实数m取值范围.

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