江苏省镇江市、南通市如皋2020-2021学年高三上学期数学教学质量调研试卷（二）

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知 $a$ 为正实数，复数 $1 + a i$ （ $i$ 为虚数单位）的模为2，则 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、2 D、3

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2. 已知集合 $M = {1 ， 2}$ ，集合 $N$ 满足 $M \cup N = {0 ， 1 ， 2}$ ，则集合 $N$ 的个数为（）

A、3 B、4 C、6 D、7

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3. 已知 $a = {(\frac{5}{3})}^{- \frac{1}{2}}$ ， $b = \log_{2} 5$ ， $c = \log_{3} 7$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小顺序是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $c > b > a$ D、 $b > c > a$

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4. 5人排成一排照相，甲排在乙左边(可以相邻，也可以不相邻)的排法总数为（）

A、30 B、60 C、120 D、240

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5. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $O$ 为坐标原点双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，则以 $F$ 为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 1 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 4 x + 3 = 0$ C、 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 1 = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 1 = 0$

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6. 正三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，则该棱锥外接球的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{3} π$ B、4π C、12π D、6π

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7. 将函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x + \frac{π}{3}) + 1$ 的图像向右平移______个单位后，再进行周期变换可以得到如图所示的图像.（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{4}$

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8. 函数 $y = \tan 2 x - 2 \tan x$ $(\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2})$ 的最大值为（）

A、 $- 3 \sqrt{3}$ B、3 C、0 D、-3

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二、多选题

9. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $E$ ， $F$ 分别为 $B_{1} B$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，则（）

A、直线 $A_{1} E / /$ 平面 $A C D_{1}$ B、直线 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、平面 $A_{1} E F / /$ 平面 $A C D_{1}$ D、平面 $A_{1} B_{1} C D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$

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10. 下列关于函数的描述正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 是奇函数的一个必要不充分条件是 $f (0) = 0$ B、定义：如果一个函数既是奇函数又是偶函数，这样的函数称为“两面派”函数，那么，“两面派”函数一定有无数个 C、若一个奇函数在定义域内每个点处均有导数，则其导函数必为偶函数 D、一个函数的导函数是奇函数，则该函数必为偶函数

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11. 已知 $A = B = {1 ， 2 ， 3}$ ，分别从集合 $A$ ， $B$ 中各随机取一个数 $a$ ， $b$ ，得到平面上一个点 $P (a ， b)$ ，事件“点 $P (a ， b)$ 恰好落在直线 $x + y = n$ 上”对应的随机变量为 $X$ ， $P (X = n) = P_{n}$ ， $X$ 的数学期望和方差分别为 $E (X)$ ， $V (X)$ ，则（）

A、 $P_{4} = 2 P_{2}$ B、 $P (3 \leq X \leq 5) = \frac{7}{9}$ C、 $E (X) = 4$ D、 $V (X) = \frac{4}{3}$

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12. 已知抛物线C： $y^{2}$ =4x，其焦点为F，P为直线x=2上任意一点，过P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ 则（）

A、 $k_{1} k_{2}$ = $- \frac{1}{2}$ B、| $k_{1} - k_{2}$ |=2 C、AB过定点(2，0) D、AF.BF的最小值为8

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三、填空题

13. 已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $3$ ， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{E B}$ ， $\vec{C F} = 2 \vec{F A}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F} =$ .

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14. 设 ${(1 - 2 x)}^{5} (1 + x) = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{6} x^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{3} =$ .

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15. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一蔀，七十六岁，二十蔀为一遂，一千五百二十岁，…，生数皆终，万物复始，天以更元作纪历”，如皋是著名的长寿之乡，该地区的如城街道一老年公寓共有20位老人，他们的年龄（均为正整数）之和为一遂又三蔀，其中有两位百岁老人（均不到110岁），他们的年龄相差一岁；其余18位老人的年龄也恰好依次相差一岁，则20位老人中年龄最小的岁数为.

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ( $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正数)过点 $(1 ， 1)$ ，值域为 $[0 ， + \infty)$ ，则 $a c$ 的最大值为；实数 $λ$ 满足 $1 - b = λ \sqrt{a}$ ，则 $λ$ 取值范围为.

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四、解答题

17. 已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $b = 2$ ， $c = 3$ ，三角形 $A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $B C$ 边上的高：

(2)、求 $\sin (A - C)$ .

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18. 数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ， $S_{n} = \frac{1}{2} (a_{n + 1} - 1)$ .

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 是等比数列，并求通项 $a_{n}$ ；

(2)、若等差数列 ${b_{n}}$ 的各项均为正数，且 $\sum_{i = 1}^{4} b_{i} = 24$ ， $a_{1} + b_{1}$ ， $a_{2} + b_{2}$ ， $a_{3} + b_{3}$ 成等比数列，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为 $2$ 正三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形，且平面 $A C C_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $E$ ， $F$ 分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， $B C$ 的中点， $\vec{C_{1} G} = 2 \vec{G C}$ .

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ；

(2)、若①三棱锥 $C_{1} - A B C$ 的体积为 $1$ ；② $C_{1} C$ 与底面所成的角为 $60 °$ ；③异面直线 $B B_{1}$ 与 $A E$ 所成的角为 $30 °$ .请选择一个条件求平面 $E F G$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成的二面角(锐角)的余弦值.

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20. 利用简单随机抽样的方法，从某校高一年级男生体验表格中抽取20名同学的胸围

x (cm)

与肺活量

y (ml)

的样本，计算平均值

\bar{x} = 80.5

，

\bar{y} = 4030

，并求出线性回归方程为

\hat{y} = 32.26 x + a

高一男生胸围与肺活量样本统计表

胸围	70	75	80	85	82	73	77	73	85	72
肺活量	3700	4600	4000	4300	4400	3400	3200	3800	4400	3500
胸围	70	83	78	91	81	74	91	76	104	90
肺活量	3600	4500	3700	4100	4700	3700	4600	4000	4700	3700

(参考公式及数据： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \approx 38$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{20} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 2040$ .)

附：相关性检验的临界值表

$n - 2$	检验水平
$n - 2$	0.05	0.01
16	0.468	0.590
17	0.456	0.575
18	0.444	0.561
19	0.433	0.549
20	0.423	0.537

(1)、求

a

的值；

(2)、求样本

y

与

x

的相关系数

r

，并根据相关性检验的临界值表，判断有无99%把握认为肺活量与胸围线性关系是有意义的(精确到

0.001

)；

(3)、将肺活量不低于

4500 ml

视为大肺活量，用样本大肺活量的频率作为全校高一男生大肺活量的概率，求从本校高一年级任意抽取

4

名男同学，恰有两名是大肺活量的概率.

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，点 $(1 ， e)$ 和 $(\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 都在椭圆 $E$ 上，其中 $e$ 为椭圆 $E$ 的离心率.

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设椭圆 $E$ 的左､右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，过点 $Q (- 2 ， 2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 分别交于点 $M$ ， $N$ ，直线 $O Q$ 与 $B M$ 交于点 $T$ ，试问：直线 $A T$ 与 $B N$ 是否一定平行？请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) - (x + 2) \sin x$ .

(1)、当 $x \in [\frac{π}{2} ， π]$ 时，求 $y = f (x)$ 零点的个数；

(2)、当 $x \in [0 ， 2 π]$ 时，求 $y = f (x)$ 极值点的个数.

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