江苏省苏州市张家港市2020-2021学年高三上学期数学12月阶段性调研测试试卷

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 < 0}$ ，集合 $B = {y ∣ y = 2^{x^{2} + 1}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $\emptyset$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $[2 ， 3)$

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2. 复数的 $z = \frac{1}{i - 1}$ 模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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3. 南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 $V_{1}$ 、 $V_{2}$ ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ ，则命题 $p$ ：“ $V_{1}$ 、 $V_{2}$ 相等”是命题 $q ：$ “ $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 总相等”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 函数 $y = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} \cdot \cos x$ 的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 十二平均律是我国明代音乐埋论家和数学家朱载填发明的.明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论.十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列.依此规则，插入的第四个数应为（）

A、 $2^{\frac{4}{13}}$ B、 $2^{\frac{3}{13}}$ C、 $2^{\frac{1}{3}}$ D、 $2^{\frac{1}{4}}$

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6. 2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是 $\frac{1}{15} R$ ， $\frac{1}{3} R$ 则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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7. 定义在 $R$ 上的偶函数 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上是增函数，且 $f (- 1) = 0$ ，则不等式 $(x - 1) f (\lg x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(\frac{1}{10} ， 1)$ B、 $(10 ， + \infty)$ C、 $(\frac{1}{10} ， 1) \cup (10 ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{10} ， 1) \cup (1 ， 10)$

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8. 在 $△ A B C$ 中， $M$ 为边 $B C$ 上的点，且 $\vec{A M} = \frac{x}{2} \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，满足则 $\frac{5 y + 4}{x} + \frac{3 x + 2}{y}$ （）

A、有最小值 $8 + 2 \sqrt{15}$ B、有最小值 $\frac{33}{2}$ C、有最小值12 D、有最小值16

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ (其中 $A > 0 ， ω > 0 ， 0 < | φ | < π$ )的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{2}$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{6}]$ 上单调增 D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到

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10. 下列不等关系正确的是（）

A、 ${0.1}^{0.3} < {0.2}^{0.3} < 2^{0.2}$ B、若 $a > b > 0$ ， $a c > b d > 0$ ，则 $c > d$ C、当 $a > b > 1$ 时 $a^{b} > b^{a}$ D、 $\log_{2} 3 > \log_{3} 4 > \log_{4} 5$

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11. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $M$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、点 $M$ 存在无数个位置满足 $C M ⊥ A D_{1}$ B、点 $M$ 存在无数个位置满足到直线 $A D$ 和直线 $C_{1} D_{1}$ 的距离相等 C、三棱锥 $B - C_{1} M D$ 的体积最大值为 $\frac{1}{3}$ D、在线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $B_{1} M$ 与 $C D$ 所成的角也是 $30^{\circ}$

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12. 下列命题正确的是（）

A、若 $α$ 是锐角，则 $\tan α > α > \sin α$ B、若 $α ， β$ 都是锐角，则 $\sin α + \sin β > \sin (α + β)$ C、若 $α ， β$ 都是锐角，且 $\sin α = α \cos β$ ，则 $α < β$ D、若 $α ， β$ 都是任意角，且 $\cos (α + β) = \cos α + \cos β$ ，则 $\cos α$ 的最大值为 $\sqrt{3} - 1$

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三、填空题

13. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{2}$ ，则点 $(0 ， 2)$ 到双曲线 $C$ 的渐近线的距离为. .

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 11$ ， $a_{5} = - 5$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ 的最大项是第项.

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15. 我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童 $A B C D - E F G H$ 有外接球，且 $A B = 4 \sqrt{3} ， A D = 4 ， E H = 2 \sqrt{6} ， E F = 6 \sqrt{2}$ ，点 $E$ 到平面 $A B C D$ 距离为4，则该刍童外接球的表面积为.

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16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m ， n)$ 在直线 $x - y + 6 = 0$ 上，点 $B ， C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 上，若四边形 $A B O C$ 正方形，则 $O A =$ ；若 $∠ B A C$ 为直角，则实数 $m$ 的取值范围的.

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四、解答题

17.
① $a \cos C + \sqrt{3} a \sin C - b - c = 0$ ；② $\tan B + \tan C - \sqrt{3} \tan B \tan C = - \sqrt{3}$ ；③ $\cos 2 A - 3 \cos (B + C) = 1$ ；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最大值.若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角其 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且， $a = \sqrt{3}$ ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 如图，函数 $y = f (x)$ 的图象由曲线段OA和直线段 $A B$ 构成.

(1)、写出函数 $y = f (x)$ 的解析式；

(2)、函数 $y = f^{2} (x) - m f (x) + 1$ 有零点，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为1，且前三项的和为13.数列 ${b_{n}}$ 的首项为1，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n (1 + b_{n})$ .

(1)、求等比数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 的公差为2，数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 3$ .

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底而是边长为2的正方形，平面 $P A B ⊥$ 底而 $A B C D$ ，记平面 $P A B$ $\cap$ 平面 $P D C = l$ .

(1)、求证： $l / / D C$ ；

(2)、若 $P A = P B = \sqrt{5}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P D C$ 所成的锐二面角的大小.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右顶点分别为 $A ， B$ ，点 $(1 ， \frac{3}{2})$ 该椭圆上，且该椭圆的右焦点 $F$ 与抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点重合.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M ， N$ 两点，记直线 $A M$ 的斜率为 $k_{1}$ ，直线 $B N$ 的斜率为 $k_{2}$ ，直线 $A N$ 的斜率 $k_{3}$ ，求证：_______.
在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明.

①直线 $A M$ 与 $B N$ 的交点在定直线 $x = 4$ 上；

② $k_{1} = \frac{1}{3} k_{2}$ ；

③ $k_{1} k_{3} = - \frac{1}{4}$ .

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 \cos x$ ， $x \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、足否存在正数 $a$ 的值使得 $f (x) \geq a (x - 1)$ 对任意 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立？证明你的结论.

(3)、求证： $f (x)$ 在 $[- π ， + \infty)$ 上有且仅有两个零点.

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