江苏省苏州市相城区2020-2021学年高三上学期数学12月阶段性诊断测试试卷

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 集合 $A = {x | x^{2} - x - 2 \leq 0}$ ，集合 $B = {x | y = \sqrt{x}}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | x \geq - 1}$ B、 ${x | x \geq 0}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 2}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 2}$

查看试题解析
2. 二项式 ${(x - \frac{1}{\sqrt[3]{2 x}})}^{6}$ 的展开式的中间项为（）

A、－10 B、 $- 10 x^{2}$ C、10 D、 $10 x^{2}$

查看试题解析
3. 已知随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 3) = 0.8$ ，则 $P (- 1 < ξ < 1) =$ （）

A、0.2 B、0.3 C、0.4 D、0.6

查看试题解析
4. 《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 $= \frac{1}{2}$ （弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（呱田）和以圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田弧所在的圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦 $A B$ 等于12米，其弧田弧所在的圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为32平方米，则 $c o s ∠ A O B =$ （）

A、 $- \frac{119}{169}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{119}{169}$ D、 $\frac{120}{169}$

查看试题解析
5. 设a，b为正实数，则“ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 1$ ”是“ $a + b \leq 4$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 $| A B | = 6$ ，则直线l的方程为（）

A、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} (x - 1)$ B、 $y = \pm (x - 1)$ C、 $y = \pm \sqrt{2} (x - 1)$ D、 $y = \pm \sqrt{3} (x - 1)$

查看试题解析
7. 2020年12月13日9时51分，嫦娥五号轨道器和返回器成功进入月地转移轨道，携带月球样本（月壤）的嫦娥五号正式踏上返回地球的旅程．嫦娥五号带回来的月球样本可以让我们更好地了解月球，使得我国成为世界上第三个从月球带回样本的国家．嫦娥五号轨道器在某个阶段的运行轨道是以月心为一个焦点的椭圆．设月球半径为R，若其近月点、远月点离月面的距离大约分别是 $\frac{1}{9} R$ ， $\frac{31}{9} R$ ，则此阶段嫦娥五号轨道器运行轨道的离心率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = {\begin{matrix} x - 1 ， & 0 \leq x \leq 1 \\ \ln x ， & x > 1 \end{matrix}$ ，若函数 $g (x) = f (x) - m x^{3}$ 有且仅有三个零点，则m的取值范围是（）

A、 $(- \frac{3}{e} ， 0) \cup (0 ， \frac{3}{e})$ B、 $(- \frac{e}{3} ， 0) \cup (0 ， \frac{e}{3})$ C、 $(- \frac{1}{e} ， 0) \cup (0 ， \frac{1}{e})$ D、 $(- \frac{1}{3 e} ， 0) \cup (0 ， \frac{1}{3 e})$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $a > b > 0$ ，则下列不等式成立的有（）

A、 $a^{t} > b^{t} (t \in R)$ B、 $2^{2 a} > 4^{b}$ C、 $\ln a + 1 > \ln (2 b)$ D、 $a^{b} > b^{a}$

查看试题解析
10. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x \cos φ + \cos 2 x \sin φ (- π < φ < π)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、若函数 $f (x)$ 为偶函数，则 $φ = \frac{π}{2}$ C、若 $φ = - \frac{π}{3}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象可由函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 D、若 $φ = \frac{π}{6}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的图象的对称中心为 $(\frac{k π}{2} + \frac{5 π}{12} ， 0) (k \in Z)$

查看试题解析
11. 如图，已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ ，P为双曲线C上在第一象限内的一个点，直线 $P F_{1}$ 与y轴相交于点Q， $△ P Q F_{2}$ 为等边三角形，则（）

A、双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ B、双曲线C的离心率为 $\sqrt{3}$ C、若点 $M (\sqrt{6} ， - \sqrt{6})$ 在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ D、若点 $M (\sqrt{6} ， - \sqrt{6})$ 在双曲线C上，则点Q的坐标为 $(0 ， \sqrt{3})$

查看试题解析
12. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数 $y = A \sin ω t$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $f (x) = \sin x + \frac{1}{2} \sin 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是增函数 B、 $f (x)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个零点 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， 2 π]$ 上有3个极值点

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $\sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos α =$ ．

查看试题解析
14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = - 22$ ， $a_{7} = - 7$ ，记 $T_{n} = a_{1} a_{2} \dots a_{n} (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ，则数列 ${T_{n}}$ 的最大项是第项．

查看试题解析
15. 考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为 $142857 \times 2 = 285714$ ， $142857 \times 3 = 428571$ ，……所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律： $142 + 857 = 999$ ， $571 + 428 = 999$ ，……若从 $1 ， 4 ， 2 ， 8 ， 5 ， 7$ 这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数 $x$ ，则 $999 - x$ 的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为．

查看试题解析
16. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (m ， n)$ 在直线 $x - y + 6 = 0$ 上，点 $B ， C$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = 10$ 上，若四边形 $A B O C$ 正方形，则 $O A =$ ；若 $∠ B A C$ 为直角，则实数 $m$ 的取值范围的.

查看试题解析

四、解答题

17. 在条件① $(a + b) (\sin A - \sin B) = (c - b) \sin C$ ，② $a \sin B = b \cos (A + \frac{π}{6})$ ，③ $b \sin \frac{B + C}{2} = a \sin B$ 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．
在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $b + c = 6$ ， $a = 2 \sqrt{6}$ ， ▲ ．求 $△ A B C$ 的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

查看试题解析
18. 设函数 $f (x) = \cos 2 x + m \sin x$ ， $x \in (0 ， π)$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{2}$ 处的切线方程为 $y = 1$ ，求 $m$ 的值；

(2)、若 $\forall x \in (0 ， π)$ ， $f (x) > 0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围.

查看试题解析
19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为2，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 2$ ， $a_{4}$ 成等差数列．数列 ${b_{n}}$ 的首项为1，前n项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = n (1 + b_{n})$ ．

(1)、求等比数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证：数列 ${b_{n}}$ 为等差数列；

(3)、若数列 ${b_{n}}$ 的公差为2，数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < 3$ ．

查看试题解析

20. 读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了

n

名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图，将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”：已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求

n ， p

的值；

(2)、根据已知条件完成下面的

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关?

	非读书之星	读书之星	总计
男
女		10	55
总计

(3)、将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量

X

，求

X

的分布列和期望

E (X)

查看试题解析

21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且点 $(1 ， - \frac{3}{2})$ 在椭圆上．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线 $B N$ 的斜率为 $k (k \neq 0)$ ，直线 $A M$ 的斜率为 $3 k$ ，求证：直线 $M N$ 过定点．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = 2 \ln (x + 1) + \sin x + 1$ ，函数 $g (x) = a x - 1 - b \ln x$ （ $a ， b \in R ， a b \neq 0$ ）.

(1)、讨论 $g (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \leq 3 x + 1$ .

(3)、证明：当 $x > - 1$ 时， $f (x) < (x^{2} + 2 x + 2) e^{\sin x}$ .

查看试题解析