江苏省苏州市八校联盟2020-2021学年高三上学期数学第二次适应性检测试卷

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知双曲线方程为 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，则该双曲线的渐近线方程为（）

A、 $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $x = \pm \sqrt{3}$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{3} x$

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2. 据记载，欧拉公式 $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ (x $\in$ R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x= $π$ 时，得到一个令人着迷的优美恒等式 $e^{π i} + 1 = 0$ ，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底e，圆周率π，虛数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数 $z = e^{\frac{2 π}{3} i}$ ，则复数z在复平面内对应的点在第几象限（）

A、一 B、二 C、三 D、四

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3. 数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n} = 2^{n} + 2 n$ ，若该数列的第k项 $a_{k}$ 满足40< $a_{k}$ <70，则k的值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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4. 饕餮(tāotiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P从A点出发跳动五次到达点B，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么恰好是沿着饕餮纹的路线到达的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{32}$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（ $\sin θ$ ， $- 2$ ）， $\vec{b}$ =（1， $\cos θ$ ），且 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则sin 2θ+cos²θ的值为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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6. 17世纪法国数学家费马在《平面与立体轨迹引论》中证明，方程 $a^{2} - x^{2} = k y^{2}$ (k>0，k≠1，a≠0)表示椭圆，费马所依据的是椭圆的重要性质：若从椭圆上任意一点P向长轴AB(异于A ， B两点)引垂线，垂足为Q ，则 $\frac{P Q^{2}}{A Q \cdot B Q}$ 为常数.据此推断，此常数的值为（）

A、椭圆的离心率 B、椭圆离心率的平方 C、短轴长与长轴长的比 D、短轴长与长轴长比的平方

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7. 已知方程 $ln | x | - a x^{2} + \frac{3}{2} = 0$ 有4个不同的实数根，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{e^{2}}{2})$ B、 $(0 ， \frac{e^{2}}{2}]$ C、 $(0 ， \frac{e^{2}}{3})$ D、 $(0 ， \frac{e^{2}}{3}]$

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8. 在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{4}$ B、 $\frac{5 \sqrt{7}}{8}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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二、多选题

9. 将 $f (x) = \sqrt{2} \sin 2 x - \sqrt{2} \cos 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，再向下平移1个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $y = g (x)$ 的说法正确的是（）

A、函数 $y = g (x)$ 的最小正周期是 $2 π$ B、函数 $y = g (x)$ 的一条对称轴是 $x = \frac{π}{8}$ C、函数 $y = g (x)$ 的一个零点是 $\frac{3 π}{8}$ D、函数 $y = g (x)$ 在区间[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{5 π}{8}$ ]上单调递减

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10. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，P为A₁D₁的中点，Q为A₁B₁上任意一点，E，F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中是定值的为（）

A、三棱锥P-QEF的体积 B、直线A₁E与PQ所成的角 C、直线PQ与平面PEF所成的角 D、二面角P—EF—A₁的余弦值

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11. 已知圆M： $x^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ ，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（）

A、四边形PAMB周长的最小值为2+ $\sqrt{3}$ B、 $| A B |$ 的最大值为2 C、若P(1，0)，则三角形PAB的面积为 $\frac{8}{5}$ D、若Q( $\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，0)，则 $| C Q |$ 的最大值为 $\frac{9}{4}$

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12. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} \geq 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})$ .下列说法正确的是（）

A、存在 $a_{1}$ ，使得 ${a_{n}}$ 为常数数列 B、 $a_{n + 1} \leq a_{n}$ C、 $a_{n + 2} + a_{n} \leq 2 a_{n + 1}$ D、 $\sum_{i = 1}^{n} (\frac{a_{i}}{a_{i + 1}} - 1) \leq a_{1} - 1$

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三、填空题

13. 在 $(x - y) {(x + y)}^{4}$ 展开式中， $x^{3} y^{2}$ 的系数为.

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14. 2013年国家提出“一带一路”发展战略，共建“一带一路”致力于亚欧非大陆及附近海洋的互联互通，建立和加强沿线各国互联互通伙伴关系，构建全方位､多层次､复合型的互联互通伙伴关系，实现沿线各国多元､自主､平衡､可持续的发展，为积极响应国家号召，中国的5家企业，对“一带一路”沿线的3个国家进行投资，每个国家至少一个企业，则有种不同的方案.

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15. 在三棱锥P—ABC中，满足PA=BC=2，PB=AC，PC=AB，且PB·PC=9，则三棱锥P—ABC外接球表面积的最小值为.

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16. 已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，A，B分别为椭圆的左､右顶点，P点为椭圆上任意一点(异于左､右顶点)，直线BP交直线x=﹣4于点M.设AP，AM的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若直线AP平分∠BAM，则 $| k_{1} + k_{2} |$ 的值为.

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四、解答题

17. 在① $S_{4} = 2 (a_{4} + 1)$ ，② $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1$ ，③ $a_{2}^{2} + a_{6}^{2} = a_{4}^{2} + a_{5}^{2}$ 中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.
已知公差不为 $0$ 的等差数列 ${a_{n}}$ ，且________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 2}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 如图，在四棱锥 $A - B C D E$ 中，四边形 $B C D E$ 为梯形， $E D / / B C$ ，且 $E D = \frac{1}{2} B C$ ， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，顶点D在 $A C$ 边上的射影为F，且 $D F = 1$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $B D = 2$ .

(1)、证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2)、求二面角 $E - A B - D$ 的余弦值.

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19. 如图，在三角形 $A B C$ 中，已知 $A B = 1$ ， $A C = 3$ ，D为 $B C$ 的三等分点(靠近点B)，且 $∠ B A D = 30 °$ .

(1)、求 $\sin ∠ C A D$ 的值；

(2)、求三角形 $A B C$ 的面积.

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20. 探索浩瀚宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量.
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + a$ 的系数公式

$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ； $a = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .）

（参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 5 \times 2 + 20 \times 14 + 35 \times 24 + 40 \times 35 + 50 \times 40 = 4530$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i}^{2} = 5^{2} + 20^{2} + 35^{2} + 40^{2} + 50^{2} = 5750$ .）

(1)、某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过 $90$ 件时，产品的次品率会大幅度增加，为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在 $x$ （单位：百件）件产品中，得到次品数量 $y$ （单位：件）的情况汇总如下表所示，且 $y$ （单位：件）与 $x$ （单位：百件）线性相关：

$x$ （百件）

$5$

$20$

$35$

$40$

$50$

$y$ （件）

$2$

$14$

$24$

$35$

$40$

根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过 $90$ 件，请通过计算分析，按照公司的现有生产技术设备情况，判断可否安排一小时试生产 $10000$ 件的任务？

(2)、“战神”太空空间站工作人员需走出太空站外完成某项试验任务，每次只派一个人出去，且每个人只派出一次，工作时间不超过 $10$ 分钟，如果有人 $10$ 分钟内不能完成任务则撤回，再派下一个人.现在一共有 $n$ 个人可派，工作人员 $a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， \dots ， a_{n}$ 各自在 $10$ 分钟内能完成任务的概率分别依次为 $p_{1} ， p_{2} ， p_{3} ， \dots ， p_{n}$ ，且 $p_{1} = p_{2} = p_{3} = \dots = p_{n} = 0.5$ ， $n \in N^{*}$ ，各人能否完成任务相互独立，派出工作人员顺序随机，记派出工作人员的人数为 $X$ ， $X$ 的数学期望为 $E (X)$ ，证明： $E (X) < 2$ .

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21. 已知函数 $f (x) = (4 - 8 a x) \ln x + b x$ (a， $b \in R$ ).

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ， $b = 0$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a \in Z$ ， $b = - 1$ ，满足 $f (x) \leq 0$ 对任意 $x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立，求出所有满足条件的a的值.

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22. 如图，已知椭圆 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ( $a > b > 0$ )，且离心率为 $\frac{1}{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ ).点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 是椭圆 $C_{1}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点.

(1)、求曲线 $C_{1}$ 和曲线 $C_{2}$ 的方程；

(2)、过点P作斜率为k( $k < 0$ )的直线 $l_{1}$ 交椭圆 $C_{1}$ 于点A，交抛物线 $C_{2}$ 于点B(A，B异于点P).
①若 $| P B | = 3 | P A |$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

②过点P作与直线 $l_{1}$ 的倾斜角互补的直线 $l_{2}$ ，且直线 $l_{2}$ 交抛物线 $C_{2}$ 于点C，交椭圆 $C_{1}$ 于点D(C，D异于点P).记 $△ P A C$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ P B D$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} \in (\frac{1}{21} ， \frac{3}{11})$ ，求k的取值范围.

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$x$ （百件）	$5$	$20$	$35$	$40$	$50$
$y$ （件）	$2$	$14$	$24$	$35$	$40$