江苏省南通市通州区2020-2021学年高三上学期数学第三次调研考试试卷

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ‖ x ∣ \leq 2 ， x \in N} ， B = {x ∣ x^{2} + x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ D、 $[- 2 ， 1]$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 + i}{1 + i}$ ，则 $\overline{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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3. ${(\frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{\sqrt[3]{x}})}^{10}$ 的二项展开式中有理项有（）

A、3项 B、4项 C、5项 D、6项

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4. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 $A B C D$ 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，这两个顶点取自同一片风叶的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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5. 若非零实数 $a ， b$ 满足 $a > b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ B、 $(a + b) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) > 4$ C、 $\sqrt{2 (a^{2} + b^{2})} \geq | a + b |$ D、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2^{1 + \sqrt{a b}}$

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6. 雷达是利用电磁波探测目标的电子设备.电磁波在大气中大致沿直线传播.受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离 $L = \sqrt{{(R + h_{1})}^{2} - R^{2}} + \sqrt{{(R + h_{2})}^{2} - R^{2}} = \sqrt{2 R h_{1} + h_{1}^{2}} + \sqrt{2 R h_{2} + h_{2}^{2}}$ （如图），其中 $h_{1}$ 为雷达天线架设高度，为探测目标高度， $h_{2}$ 为地球半径.考虑到电磁波的弯曲、折射等因素， $R$ 等效取 $8490 k m$ ，故 $R$ 远大于 $h_{1}$ ， $h_{2}$ .假设某探测目标高度为 $25 m$ ，为保护航母的安全，须在直视距离 $390 k m$ 外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据： $\sqrt{2 \times 8.49} \approx 4.12$ ）

A、 $6400 m$ B、 $7200 m$ C、 $8100 m$ D、 $10000 m$

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7. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点P是抛物线C上位于第一象限内的一点，M为线段PF的中点，MQ垂直y轴于点Q，若直线QF的倾斜角为 $α$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则直线PF的倾斜角为（）

A、 $α$ B、 $2 α$ C、 $π - α$ D、 $2 α - π$

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8. 已知点A，B，C是函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x + \frac{π}{3}) ， ω > 0$ 的图象和函数 $y = \sqrt{2} \sin (ω x - \frac{π}{6}) ， ω > 0$ 图象的连续三个交点，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{π}{2} ， + \infty)$ B、 $(\frac{π}{4} ， + \infty)$ C、 $(0 ， \frac{π}{2})$ D、 $(0 ， \frac{π}{4})$

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二、多选题

9. 下列命题中正确的是（）

A、 $A ， B ， M ， N$ 是空间中的四点，若 $\overset{⇀}{B A} ， \overset{⇀}{B M} ， \overset{⇀}{B N}$ 不能构成空间基底，则 $A ， B ， M ， N$ 共面 B、已知 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 为空间的一个基底，若 $\vec{m} = \vec{a} + \vec{c}$ ，则 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{m}}$ 也是空间的基底 C、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， \frac{2}{3})$ ，则直线 $l / / α$ D、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， 2)$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 近年来，中国进入一个鲜花消费的增长期．某农户利用精准扶贫政策，货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰．若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布 $N (μ ， 30^{2})$ 和 $N (280 ， 40^{2})$ ，则下列正确的是（）
附：若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X < μ + σ) \approx 0.6826$

A、若红玫瑰的日销售量范围在 $(μ - 30 ， 280)$ 的概率是0.6826，则红玫瑰的日销售量的平均数约为250 B、白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售更集中 C、红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售更集中 D、白玫瑰的日销售量在 $(280 ， 320)$ 范围内的概率约为0.3413

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11. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上有一点P， $F_{1} 、 F_{2}$ 分别为左､右焦点， $∠ F_{1} P F_{2} = θ ， △ P F_{1} F_{2}$ 的面积为S，则下列选项正确的是（）

A、若 $θ = 60 °$ ，则 $S = 3 \sqrt{3}$ B、若 $S = 9$ ，则 $θ = 90 °$ C、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 为钝角三角形，则 $S \in (0 ， \frac{9 \sqrt{7}}{4})$ D、椭圆C内接矩形的周长范围是 $(12 ， 20]$

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12. 设函数 $f (x) = e^{2 x} - 8 e^{x} + 6 x$ ，若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线与该曲线恰有一个公共点 $P$ ，则选项中满足条件的 $x_{0}$ 有（）

A、 $- \ln 2$ B、 $\ln 2$ C、 $\ln 4$ D、 $\ln 5$

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三、填空题

13. 双曲线 $2 x^{2} - y^{2} = 8$ 的两条准线间的距离为．

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14. 为抗击新型冠状病毒，某医学研究所将在6天时间内检测3盒A类药，2盒B类药，1盒C类药．若每天只能检测1盒药品，且3盒A类药中只有2盒在相邻两天被检测．则不同的检测方案的个数是．

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15. 无穷数列 ${a_{n}}$ 满足：只要 $a_{p} = a_{q} (p, q \in N^{*})$ ，必有 $a_{p + 1} = a_{q + 1}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“和谐递进数列”．已知 ${a_{n}}$ 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列， $a_{1} = a_{5} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，则 $S_{2021} =$ ．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C C_{1}$ 的中点．则平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为；以点 $E$ 为球心，以 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ 为半径的球面与对角面 $A C C_{1} A_{1}$ 的交线长为．

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四、解答题

17. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

时刻	0：00	1：00	2：00	3：00	4：00	5：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	6：00	7：00	8：00	9：00	10：00	11：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754
时刻	12：00	13：00	14：00	15：00	16：00	17：00
水深	5.000	6.250	7.165	7.500	7.165	6.250
时刻	18：00	19：00	20：00	21：00	22：00	23：00
水深	5.000	3.754	2.835	2.500	2.835	3.754

(1)、这个港口的水深与时间的关系可用函数

y = A \sin (ω x + φ) + b

（

A > 0

，

ω > 0

）近似描述，试求出这个函数解析式；

(2)、一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $\frac{3 (1 + a_{n + 1})}{1 - a_{n}} = \frac{2 (1 + a_{n})}{1 - a_{n + 1}}$ ， $a_{n} a_{n + 1} < 0 (n \geq 1)$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} (n \geq 1)$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、证明：数列 ${b_{n}}$ 中的任意三项不可能成等差数列．

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19. 某校高一年级组织“知识竞答”活动．每位参赛者第一关需回答三个问题，第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得-10分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得-20分．规定，每位参赛者回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位参赛者回答前两个问题正确的概率都是 $\frac{2}{3}$ ，回答第三个问题正确的概率是 $\frac{1}{2}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

(1)、求这位参赛者仅回答正确两个问题的概率；

(2)、求这位参赛者回答这三个问题的总得分 $ξ$ 的分布列和期望；

(3)、求这位参赛者闯关成功的概率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B / / D C ， B C = C D = 2 ， A B = 4$ ． $M ， N$ 分别是 $A B ， A D$ 的中点，且 $P D ⊥ N C$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、已知三棱锥 $D - P A B$ 的体积为 $\frac{2}{3}$ ，求二面角 $C - P N - M$ 的大小．

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21. 已知函数 $f (x) = a + \sqrt{x} l n x (a \in R)$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、试求 $f (x)$ 的零点个数，并证明你的结论．

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22. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的离心率 $e = \frac{1}{2}$ ，过椭圆 $C$ 上一点 $P (2 ， 3)$ 作两条不重合且倾斜角互补的直线 $P A$ ､ $P B$ 分别与椭圆 $C$ 交于 $A$ ､ $B$ 两点，且 $A B$ 中点为 $M$ .

(1)、求椭圆C方程.

(2)、椭圆 $C$ 上是否存在不同于 $P$ 的定点 $N$ ，使得 $△ M N P$ 的面积为定值，如果存在，求定点 $N$ 的坐标；如果不存在，说明理由.

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