江苏省南通市如皋市2020-2021学年高三上学期数学教学质量调研试卷（三）

试卷更新日期：2021-10-08 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 - x ⩾ 0}$ ， $B = {x \in Z | y = l n (x + 1)}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 1$ ， $2]$ B、 $(- 1$ ， $2]$ C、 ${0$ ，1， $2}$ D、 ${- 1$ ，0，1， $2}$

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2. 已知复数 $z = 1 + i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\frac{1 + z}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{3 + i}{2}$ B、 $\frac{1 + i}{2}$ C、 $\frac{1 - 3 i}{2}$ D、 $\frac{1 + 3 i}{2}$

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3. 苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑（门顶厚度忽略不计），“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离约为80米，距离门顶竖直距离8米处两塔内侧之间的距离约为16米则“东方之门”的高度约为（）

A、150米 B、200米 C、250米 D、300米

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} ＝ (x － 1 ， 2) ， \overset{⇀}{b} ＝ (2 ， 1)$ ，则“x＞0”是“ $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为锐角”的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 函数 $f (x) = \frac{5 x + 2 \sin x}{3^{x} - 3^{- x}}$ $(x \in [- π ， 0) \cup (0 ， π])$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若 $\cos (α - \frac{π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{3}) + \cos α =$ （）

A、 $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、-1 D、±1

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7. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ， $f^{'} (x) + 4 x > 0$ ，其中 $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 导函数，则满足不等式 $f (x) \geq 1 - 2 x^{2}$ 的解集为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ C、 $[- \frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - \frac{1}{2}]$

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8. 直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $B B_{1} = 4$ ， $A B = 2$ ， $A C = B C = 3$ ，则点C到平面 $A_{1} B C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{2}{11} \sqrt{22}$ B、 $\frac{4}{11} \sqrt{22}$ C、 $\frac{6}{11} \sqrt{22}$ D、 $\frac{12}{11} \sqrt{22}$

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二、多选题

9. 关于双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 有下列四个说法，正确的是（）

A、以实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为 $\sqrt{3}$ B、与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点 C、与双曲线 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ 有相同的渐近线 D、过右焦点的弦长最小值为4

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10. 下列不等式的解集与不等式 ${(x - 1)}^{- 2} < {(2 x - 3)}^{- 2}$ 的解集完全相同的是（）

A、 $\frac{1}{| x - 1 |} < \frac{1}{| 2 x - 3 |}$ B、 $\log_{\frac{1}{2}} (x - 1) < \log_{\frac{1}{2}} (2 x - 3)$ C、 $\log_{2} {(x - 1)}^{2} > \log_{2} {(2 x - 3)}^{2}$ D、 $2^{| x - 1 |} > 2^{| 2 x - 3 |}$

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11. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1}^{2} - n a_{n + 1} = a_{n}^{2} - n a_{n}$ ，则 $a_{6}$ 的值可能为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 在单位圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上任取一点 $P (x ， y)$ ，圆O与x轴正半轴的交点为A ，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为 $θ$ ，记x ， y关于 $θ$ 的表达式分别为 $x = f (θ)$ ， $y = g (θ)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $t = f (θ) g (θ)$ 是偶函数 B、函数 $t = | f (θ) + g (θ) - 1 |$ 的最小正周期为 $2 π$ C、函数 $t = f (θ) - g (θ)$ 的一个单调减区间为 $[- \frac{π}{4} ， \frac{3 π}{4}]$ D、函数 $t = 2 f (θ) + g (2 θ)$ 的最大值为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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三、填空题

13. 若 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} + 3 x)}^{n}$ 的展开式中二项式系数和为64，则展开式中常数项为.

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14. 半圆的直径 $A B = 2$ ， $C$ 为半圆上的点满足 $∠ C A B = \frac{π}{6}$ ， $D$ 为 $B C$ 上的点满足 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{A D} \cdot \vec{B C} =$ .

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的正方形，三角形 $P A D$ 为正三角形，且平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的表面积为.

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16. 现有A、B、C、D、E、F6个不同的货柜，准备用甲、乙、丙三辆卡车一次运送出去，每台卡车至少运一个货柜，则不同的分配方案的种数为.设卡车甲运送货柜的数量为随机变量X，则期望 $E (X) =$ .

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{3} + 1 = 2 a_{3}$ ， $S_{3} - 1 = 3 a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n} (2 + \log_{2} a_{n})$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) + m (ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 满足下列4个条件中的3个，4个条件依次是：① $ω = 2$ ，②周期 $T = π$ ，③过点 $(0 ， 0)$ ，④ $f (\frac{π}{3}) = \frac{3}{2}$ .

(1)、试写出能确定 $f (x)$ 解析式的3个条件的序号(不需要说明理由)，并求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求（1）中函数 $f (x)$ 的图象与直线 $y = 1$ 交点间的最短距离.

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19. 如图，已知五面体 $A B C D E F$ 中， $C D E F$ 为正方形，且平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ A D C = ∠ B C D = 120^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B C D$ 为等腰梯形；

(2)、若 $A D = D E$ ，求二面角 $F - B D - C$ 的余弦值.

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20. 某学校为了纪念华罗庚先生(1910年1月-1985年6月)逝世3周年，特举办“华罗庚”杯数学竞赛，现从参赛选手中抽取100名学生进行研究，将他们的比赛成绩(满分为100分)分为6组：

[40 ， 50)

，

[50 ， 60)

，

[60 ， 70)

，

[70 ， 80)

，

[80 ， 90)

，

[90 ， 100]

得到如图所示的频率分布直方图.

	优秀	非优秀	合计
男生		40
女生			50
合计			100

参考公式及数据： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$

$P (K^{2} \geq K_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$K_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、求a的值；

(2)、在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？

(3)、用频率估计概率，现从学校所有参赛选手中随机抽取1名学生，共抽取3次，且每次抽取的结果是相互独立的，记被抽取的3名选手中成绩恰好在

[60 ， 80)

上的人数为随机变量

ξ

，求

E (ξ)

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21. 已知中心在原点，焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $C$ 过点 $P (2 ， 0)$ 且离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过点 $Q (\frac{2}{3} ， 0)$ 作直线与椭圆交于 $A$ 、 $B$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、求证： $P A ⊥ P B$ ；

(3)、求 $P A \cdot P B$ 的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - 1) \cos x - (x + 1) \sin x$ .

(1)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $y = f (x)$ 零点的个数；

(2)、当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f (x) \leq a x - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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