高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质

试卷更新日期：2021-10-04 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设函数 $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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2. 下列函数中，既是偶函数，又在 $(0 ， 1)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = x^{3}$ B、 $y = \log_{4} x$ C、 $y = \cos | x |$ D、 $y = 3^{| x |}$

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3. 已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ ， $f (- 1) = 0$ ，且 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0)$ 上单调递增，则不等式 $(2^{x} - 1) f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$ D、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$

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4. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递减，且 $f (- 1) = 0$ ，若 $a = f (- \log_{3} 8)$ ， $b = f (- \log_{2} 4)$ ， $c = f (2^{\frac{2}{3}})$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $c < a < b$ B、 $a < b < c$ C、 $a < c < b$ D、 $c < b < a$

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5. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \ln x + x$ ，则 $a = f (- 2^{\frac{3}{2}}), b = f (\log_{2} 9), c = f (\sqrt{5})$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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6. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (- x) = - f (x)$ ，且 $\forall x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，则（）

A、 $f (\log_{4} 3) < f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (2^{\frac{1}{2}})$ B、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (\log_{4} 3) < f (2^{\frac{1}{2}})$ C、 $f (\log_{3} \frac{1}{4}) < f (2^{\frac{1}{2}}) < f (\log_{4} 3)$ D、 $f (2^{\frac{1}{2}}) < f (\log_{4} 3) < f (\log_{3} \frac{1}{4})$

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7. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x ， x > 0 \\ x + 2 ， x \leq 0 \end{array}$ ，若 $f (m) = f (n)$ 且 $n < m$ ，则 $m - n$ 的最小值为（）

A、2 B、3 C、 $e^{2} - 1$ D、 $e^{2}$

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \geq 0 \\ x + a, x < 0 \end{array}$ 是 $(- \infty, + \infty)$ 上的单调递增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0, 1]$ B、 $[0, 1)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, 1)$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 最小值是2 D、 $f (x)$ 最大值是4

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10. 已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} + | x |$ ．则下面结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上为增函数 C、若 $x \neq 0$ ，则 $f (x + \frac{1}{x}) > e^{2} + 2$ D、若 $f (x - 1) < f (- 1)$ ，则 $0 < x < 2$

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11. 已知函数 $f (x) = \frac{1 - 2^{x}}{1 + 2^{x}}$ ， $g (x) = \lg (\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ ，则（）

A、函数 $f (x)$ 为偶函数 B、函数 $g (x)$ 为奇函数 C、函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 在区间 $[- 1 ， 1]$ 上的最大值与最小值之和为0 D、设 $F (x) = f (x) + g (x)$ ，则 $F (2 a) + F (- 1 - a) < 0$ 的解集为 $(1 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，且 $f (1 + x) + f (1 - x) = 0$ ， $f (2) = 1$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于 $(1, 0)$ 对称 B、 $f (\frac{1}{3}) + f (\frac{4}{3}) > 0$ C、 $f (\frac{2}{3}) + f (\frac{5}{3}) > 0$ D、不等式 $f^{2} (x) > 1$ 的解集为 $(- \infty, 0) \cup (2, + \infty)$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \ln x$ 的定义域为

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14. 设 $x_{1}$ 满足 $2^{x} + 2 x = 3$ ， $x_{2}$ 满足 $2^{2 - x} = 2 x - 1$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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15. 若 $f (x) = m \ln x - x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - 4 x + 4$ 在 $(2 ， + \infty)$ 上单调递减，则实数 $m$ 取值范围.

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16. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} - 7 x + 2 a ， x \geq 1 \\ x^{2} - a x + 1 ， x < 1 \end{array}$ 是 $R$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题

17.

(1)、用定义法证明函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增；

(2)、已知 $g (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x < 0$ 时， $g (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 1$ ，求 $g (x)$ 的解析式．

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18. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ .

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (2 m - 1) < f (m - 2)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x - \sin x$ ．

(1)、当 $x < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解关于 $m$ 的不等式 $f (2 m) > f (m - 1)$ ．

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20. 设函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{10 - a x}$ ， $a$ 是不为零的常数.

(1)、若 $f (3) = \frac{1}{2}$ ，求使 $f (x) \geq 4$ 的 $x$ 的取值范围；

(2)、当 $x \in [- 1, 2]$ 时， $f (x)$ 的最大值是16，求 $a$ 的值.

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21. 函数 $f (x) = {log}_{2} (2^{x} + 1)$

(1)、求证： $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数.

(2)、若函数 $g (x) = {log}_{2} (2^{x} - 1) (x > 0)$ 是关于 $x$ 的方程 $g (x) = m + f (x)$ 在 $[1 ， 2]$ 有解，求 $m$ 的取值范围.

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22. 定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 3^{x} + 1}{3^{x + 1} + 3}$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性；

(3)、若不等式 $f (3^{x} - 1) + f (k \cdot 3^{x + 1} + 3 k) > 0$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上有解，求实数 $k$ 的取值范围.

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第三章 函数概念与性质

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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