高中数学人教A版（2019）必修一第二章一元二次函数、方程和不等式

试卷更新日期：2021-10-04 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 不等式 $(x - 1) (x + 4) < 0$ 的解集为（）

A、 ${x | x < - 4$ 或 $x > 1}$ B、 ${x | - 1 < x < 4}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ D、 ${x | - 4 < x < 1}$

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2. 设 $x \in R$ ，则“ $x^{2} < 3 x$ ”是“ $\frac{1 - x}{x - 3} \geq 0$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ， $a (4 x^{2} + 1) \geq x$ 恒成立，则实数 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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4. 若 $a > 0 ， b > 0 ， a + b = 2$ ，则 $y = \frac{4}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、4

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5. 不等式 $a x^{2} - (a + 2) x + 2 \geq 0 (a < 0)$ 的解集为（）

A、 $[\frac{2}{a} ， 1]$ B、 $[1 ， \frac{1}{a}]$ C、 $(- \infty ， \frac{2}{a}] \cup [1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1] \cup [\frac{2}{a} ， + \infty)$

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6. 若不等式 $x^{2} + m x + 1 \geq 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq 2$ B、 $m \leq - 2$ C、 $m \leq - 2 或 m \geq 2$ D、 $- 2 \leq m \leq 2$

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7. 若函数 $f (x) = m x^{2} - x + m - 1$ 的两个零点一个大于1，一个小于1，则实数m的取值范围是（）

A、（0，1） B、（0，1] C、 $(- \infty ， 0] \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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8. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $x + y = 2$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{2}{x} + \frac{2}{y}$ 有最小值4 B、 $x y$ 有最小值1 C、 $2^{x} + 2^{y}$ 有最大值4 D、 $\sqrt{x} + \sqrt{y}$ 有最小值4

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二、多选题

9. 设正实数 $a ， b$ 满足 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b} \geq 9$ B、 $2^{a} + 2^{b} > 3$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$ 有最小值 $\frac{1}{2}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值为2 B、 $x^{2} + 1$ 的最小值为1 C、 $0 < x < 2$ ， $3 x (2 - x)$ 的最大值为3 D、 $\sin x + \frac{4}{\sin x}$ 的最小值为4， $x \in (0, π)$

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11. 若 $0 < a \leq b < 1$ ， $c > 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\log_{a} c \geq \log_{b} c$ B、 $\lg (a^{c} + a^{- c})$ 有最小值 C、 $c^{a} + a^{c} \leq c^{b} + b^{c}$ D、若 $(c - a - b) c = a b$ ，则 $\frac{c}{a + b}$ 的最大值为 $\frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

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12. 已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 解集为 ${x | - 2 < x < 3}$ ，则（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $a x + c > 0$ 的解集为 ${x | x < 6}$ C、 $a + b + c > 0$ D、不等式 $c x^{2} - b x + a < 0$ 的解集为 ${x | - \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}}$

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三、填空题

13. 若 $\emptyset$ 是 ${x | x^{2} \leq a ， a \in R}$ 的真子集，则实数a的取值范围是．

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14. 函数 $y = x + \frac{1}{x - 1}$ $(x > 1)$ 的最小值是．

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15. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 2$ ，则 $\frac{3 x^{2} + 5 y^{2} + 2 x + 4 y}{x y}$ 的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = m x^{2} - m x - 1$ ，对一切实数 $x ， f (x) < 0$ 恒成立，则 $m$ 的范围为

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四、解答题

17. 解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} - 2 (a + 1) x + 4 > 0$ .

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18. 设全集为 $U =$ R ，集合 $A = {x | (x + 3) (x - 6) \geq 0}$ ， $B = {x | | x - 6 | < 8}$ ．

(1)、求 $A \cap ∁_{R} B$ ；

(2)、已知 $C = {x | 2 a < x < a + 1}$ ，若 $C \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 已知关于x的不等式2kx²+kx﹣1＜0．

(1)、若不等式的解集为（- $\frac{3}{2}$ ， 1），求实数k的值；

(2)、若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．

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20. 函数 $f (x) = | 2^{x} + a - 9 |$ ， $g (x) = - x^{2} + (5 - a) x + 2 a$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、若函数 $g (x)$ 为偶函数，求函数 $f (g (x) - 7)$ 的值域；

(2)、若不存在 $x \in R$ ，使得 $f (x) > 6$ 和 $g (x) > 6$ 同时成立，求 $a$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \lg (a x^{2} + 2 a x + 1)$ 的定义域为 $R$ .

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， 1]$ 上的最大值与最小值互为相反数，求实数 $a$ 的值．

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22. 南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔字楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间，南同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即 $∠ P A Q = 45^{\circ}$ ，其中 $P ， Q$ 分别在边 $B C ， C D$ 上，记 $∠ B A P = θ$ $(0^{\circ} ⩽ θ ⩽ 45^{\circ})$ .

(1)、南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当 $θ = 30^{\circ}$ 时，请你求出：
（i）线段DQ的长为多少？

（ii）线段AR的长为多少？

(2)、为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积(即四边形 $A P C Q$ 的面积，记为S)最大，θ应取何值？S的最大值为多少？

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高中数学人教A版（2019） 必修一 第二章 一元二次函数、方程和不等式

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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