高中数学人教A版（2019）必修一第三章函数概念与性质

试卷更新日期：2021-10-03 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 函数 $f (x) = \sqrt{1 - 2^{x}} + \frac{1}{\sqrt{x + 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty ， - 3) \cup (- 3 ， 0]$ B、 $(- \infty ， - 3) \cup (- 3 ， 1]$ C、 $(- 3 ， 0]$ D、 $(- 3 ， 1]$

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2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）

A、 $f (x) = x + 2$ 与 $g (x) = \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$ B、 $f (x) = | x + 1 |$ 与 $g (x) = {\begin{matrix} - x - 1, x < 1, \\ x + 1, x \geq 1. \end{matrix}$ C、 $f (x) = 1$ 与 $g (x) = x^{0}$ D、 $f (x) = 3 x + 2 (x \in R)$ 与 $g (t) = 3 t + 2 (t \in R)$

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3. 下列函数在区间 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数的是（）

A、 $f (x) = - \frac{1}{x + 2}$ B、 $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ C、 $f (x) = - \log_{2} x$ D、 $f (x) = x^{2} - x + 1$

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4. 已知奇函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上单调递减，若 $f (1) = - 2$ ，则满足 $f (x - 1) \leq 2$ 的 $x$ 的取值区间是（）

A、 $[0, + \infty)$ B、 $(- \infty, 0]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 2]$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{x}{x - m}$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(0, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(2, + \infty)$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 4 x ， x < 0 \\ - x^{2} ， x \geq 0 \end{array}$ ，若 $f (f (m)) \geq 5$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[\sqrt{5}, + \infty)$ B、 $[0, \sqrt{5}]$ C、 $(- \infty, - \sqrt{5}]$ D、 $[- \sqrt{5}, 0]$

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7. 函数 $f (x) = {\begin{matrix} a^{x}, x \geq 0 \\ (2 - a) x + \frac{2}{3} a, x < 0 \end{matrix} (a > 0, a \neq 1)$ 为R上的增函数，则实数a的取值范围为（）

A、 $(1, \frac{3}{2}]$ B、 $(1, \frac{3}{2})$ C、 $(1, 2)$ D、 $[\frac{3}{2}, 2)$

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8. 已知函数 $f (x) = \log_{3} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - \frac{2}{3^{x} + 1}$ ，若 $f (2 a - 1) + f (a^{2} - 2) \leq - 2$ ，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, 2]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[- 3, 1]$ D、 $[- 4, 1]$

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二、多选题

9. 下列函数中，既是偶函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = - \frac{1}{x}$ B、 $y = \lg | x |$ C、 $y = x^{2}$ D、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$

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10. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x 是有理数 \\ 0 ， x 是无理数 \end{array}$ ，被称为狄利克雷函数．以下说法正确的是（）．

A、 $D (x)$ 的值域是 ${0 ， 1}$ B、 $\forall x \in R$ ，都有 $D (- x) + D (x) = 0$ C、存在非零实数 $T$ ，使得 $D (x + T) = D (x)$ D、对任意 $a ， b \in (- \infty ， 0)$ ，都有 ${x | D (x) > a} = {x | D (x) > b}$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{α}$ 图像经过点(4，2)，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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12. 已知 $f (x)$ 为定义在R上的函数，对任意的 $x, y \in$ R，都有 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，并且当 $x < 0$ 时，有 $f (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、若 $f (2) = 2$ ，则 $f (- 2) = 2$ C、 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上为增函数 D、若 $f (2) = 2$ ，且 $f (a^{2}) - f (2 a - 5) > 4$ ，则实数 $a$ 的取值范围为 $(- \infty, 1) \cup (1, + \infty)$

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三、填空题

13. 函数 $y = \frac{1 - x^{2}}{1 + x^{2}}$ 的值域是.

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14. 已知 $y = f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (x)$ 在R上的表达式是．

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15. 已知 $f (x)$ 为奇函数， $g (x) = f (x) + 9 ， g (- 2) = 3 ，则 f (2) =$ ．

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16. 已知点 $(a, 8)$ 在幂函数 $f (x) = (a - 1) x^{b}$ 的图象上，若 $f (m) + f (1 - 3 m) < 0$ ，则实数 $m$ 的取值范围为．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 2, 0) \cup (0, 2)$ ，当 $x \in (0, 2)$ 时，函数 $f (x) = \frac{a}{x} - \frac{1}{x - 2}$ .

(1)、若 $a = 0$ ，利用定义研究 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 上的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，求 $f (x)$ 的解析式.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + b x + a}{x}$ ，若函数 $f (x)$ 是定义域 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (1) = 2$ .

(1)、求 $a ， b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性，并用定义进行证明.

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19. 若 $f (x)$ 为 $R$ 上的奇函数，且 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、解关于x的不等式 $f (a x - a) + f (- x - 2) > 0$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \ln \frac{k x - 1}{x + 1}$ 为奇函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、判断并证明函数 $f (x)$ 在 $(1 ， + \infty)$ 上的单调性；

(3)、若存在 $α$ ， $β \in (1 ， + \infty)$ 使得函数 $f (x)$ 在区间 $[α ， β]$ 上的值域为 $[\ln (m α - \frac{m}{2}) ， \ln (m β - \frac{m}{2})]$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$

(1)、判断函数的奇偶性，并说明理由：

(2)、证明：函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增；

(3)、求函数 $f (x) = x - \frac{4}{x}$ ， $x \in [- 4 ， - 1]$ 的值域.

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22. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 对任意实数 $x, y$ 都满足 $f (x + y) = f (x) + f (y)$ ，且当 $x > 0$ 时， $f (x) > 0$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并证明；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并证明；

(3)、解不等式 $f (x^{2} - a x) + f (2 x - 2 a) < 0$ ．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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