江苏省连云港市2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数中，比2小的无理数是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1.414 C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 下列手机屏幕解锁图形案是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 计算 ${(a^{3})}^{2} \div a^{2}$ 的结果是（）

A、 $a^{3}$ B、 $a^{4}$ C、 $a^{7}$ D、 $a^{8}$

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4. 如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（）

A、段① B、段② C、段③ D、段④

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5. 为筹备班级联欢会，班长对全班同学爱吃哪几种水果做了民意调查，然后决定买什么水果，最值得关注的应该是统计调查数据的（）

A、中位数 B、平均数 C、众数 D、方差

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6. 下列函数中，① $y = 2 x$ ；② $y = 2 - x$ ；③ $y = - \frac{2}{x}$ ；④ $y = x^{2} + 6 x + 8$ .函数图象经过第四象限的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 嘉淇用一些完全相同的 $△ A B C$ 纸片，已知六个 $△ A B C$ 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 $n$ 个 $△ A B C$ 纸片按图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（）

A、正十二边形 B、正十边形 C、正九边形 D、正八边形

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，作以 $∠ A$ 为内角，四个顶点都在 $△ A B C$ 边上的菱形时，如下的作图步骤是打乱的.①分别以点A、G圆心，大于 $\frac{1}{2} A G$ 长为半径在AG两侧作弧，两弧相交于点M、N；②作直线MN分别交AB、AC于点P、Q，连接PG、GQ；③分别以点D、E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $△ A B C$ 内一点F，连接AF并延长交边BC于点G；④以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交AB、AC于点D、E.则正确的作图步骤是（）

A、②④①③ B、④③②① C、②④③① D、④③①②

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二、填空题

9. 若分式 $\frac{1}{x + 1}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为.

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10. 支持北斗三号新信号的22纳米工艺射频基带一体化导航定位芯片，已实现规模化应用，22纳米=0.000000022米，将0.000000022用科学记数法表示为.

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11. 分解因式 $3 a^{2} - 48 =$ .

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12. 关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 有两个不相等实数根，则 $a$ 的值为.

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13. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是 $B D$ 、 $C D$ 的中点， $E F = 4$ ，则 $A D$ 的长为.

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14. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 切 $⊙ O$ 于点 $A$ ，线段 $P O$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ .若 $∠ P = 30 °$ ， $A B = 4$ ，则弧 $B C$ 的长为.

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15. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是130，小正方形面积是10，则 $\sin θ \cdot \cos θ$ 的值是.

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $B C = 5$ ， $D$ 为 $B C$ 边的中点，点E、F分别是线段AC、AD上的动点，且 $A F = C E$ ，则 $B E + C F$ 的最小值是.

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三、解答题

17. 计算 $- 1^{2} + \sqrt{12} + | \sqrt{3} - 2 | - {(π - 2021)}^{0}$ .

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18. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 10 x > 7 x + 6 \\ x - 1 < \frac{x + 7}{3} \end{array}$

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19. 解方程： $\frac{x}{x - 1} + 1 = \frac{2}{x - 1}$ .

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20. 某校随机抽取了50名九年级学生进行立定跳远水平测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图.
学生立定跳远测试成绩频数分布表

分组

频数

$1.2 \leq x < 1.6$

$a$

$1.6 \leq x < 2.0$

12

$2.0 \leq x < 2.4$

$b$

$2.4 \leq x < 2.8$

10

请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：

(1)、表中 $a =$ ， $b =$ ，样本成绩的中位数落在范围内；

(2)、请把频数分布直方图补充完整；

(3)、该校九年级组共有1200名学生，请估计该校九年级学生立定跳远成绩在 $2.4 \leq x < 2.8$ 范围内的有多少人？

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21. 九年级某班要召开一次“走进祖国英雄，讲好中国故事”主题班会活动，张老师制作了编号为A、B、C、D的4张卡片（如图，除了编号和内容外，其余完全相同），将它们背面朝上洗匀后放在桌面上.

(1)、小东随机抽取1张卡片，则抽到卡片编号为B的概率为；

(2)、小东从4张卡片中随机抽取一张（不放回），小海再从余下的3张卡片中随机抽取1张，然后根据抽取的卡片讲述相应英雄故事，求小东、小海两人中恰好有一人讲述“卫国边英雄”陈红军故事的概率（请用“画树状图”或“列表”等方法写出过程）

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后，得到△DEC，点D刚好落在AB边上．

(1)、求n的值；

(2)、若F是DE的中点，判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

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23. 如图，直线 $y = - \frac{1}{2} x - 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，点 $B (- 6 ， m)$ 也在该直线上，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $C$ ，直线BC交x轴于点D，点E坐标为 $(0 ， \frac{11}{2})$ .

(1)、 $m$ 的值为，点C的坐标为；

(2)、求直线AC的函数表达式；

(3)、晶晶有个想法：“设 $S = S_{△ A B D} + S_{四边形 D C E O}$ .由点B与点C关于x轴对称易得 $S_{△ A B D} = S_{△ A C D}$ ，而 $△ A C D$ 与四边形DCEO拼接后可看成 $△ A O E$ ，这样求S便转化为直接求 $△ A O E$ 的面积.”但经反复演算，发现 $S_{△ A O E} \neq S$ ，请通过计算解释她的想法错在哪里？

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24. 如图，甲船向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船南偏西75°方向的点B处，且乙船从B处按北偏东15°的方向航行，当甲船到达点D处时，乙船航行到甲船南偏西60°方向的点C处，此时两船相距15海里.

(1)、求 $∠ A B C$ 的度数；

(2)、若甲船在D处停止不动，乙船沿着原路线继续航行至甲船的正北方E处，试求此时甲船和乙船之间的距离.（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ，结果精确到0.1海里）

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25. 我县某农业合作社对一种特色水果一共开展了35次线上销售，该种水果的成本价为每吨4万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息；
信息1：设第 $x$ 次线上销售水果 $y$ （吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨，

信息2：该水果的销售单价 $p$ （万元/吨）与销售场次 $x$ 之间的函数关系式为

$p = {\begin{array}{l} k_{1} x + 4 ， (1 \leq x \leq 19) \\ 4 + \frac{k_{2}}{x} ， (20 \leq x \leq 35) \end{array}$ ，且当 $x = 3$ 时， $p = 4.6$ ；当 $x = 32$ 时， $p = 5$ .

请根据以上信息，解决下列问题.

(1)、 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为；

(2)、若 $p = 4.8$ （万元/吨），求 $x$ 的值；

(3)、在这35次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？

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26. 如图，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于点A、B，已知 $A (- 1 ， 0)$ 与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，该抛物线的顶点为点D.

(1)、二次函数的表达式为，点D的坐标为；

(2)、连接BC.
①在抛物线上存在一点P，使得 $D P / / C B$ ，求点P的坐标；

②若 $Q$ 是抛物线上动点，则是否存在点 $Q$ ，使得 $∠ D A B - ∠ B C Q > 45 °$ ？若存在，直接写出点 $Q$ 的横坐标的取值范围；若不存在，说明理由.

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27. 张老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究.如图有一矩形纸片ABCD， $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E.

(1)、如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；

(2)、如图2，G为AD上一点，且 $G D = 2$ ，连接AE、GE.
①试判断 $A E - 2 G E$ 的值是否随着点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；

②连接BE，当 $A E + 2 E B$ 的值最小时，直接写出点E到边AD的距离为 .

(3)、如图3，点D关于点C的对称点是点 $D^{'}$ ，连接 $A D^{'}$ ，连接AE并延长交 $D D^{'}$ 于点H，过点E作 $E F / / A B$ ，交 $A D^{'}$ 于点F，连接FH，试求 $△ A F H$ 面积的最小值.

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分组	频数
$1.2 \leq x < 1.6$	$a$
$1.6 \leq x < 2.0$	12
$2.0 \leq x < 2.4$	$b$
$2.4 \leq x < 2.8$	10