湖南省长沙市长郡教育集团2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 若 $a 、 b$ 互为相反数，则 $2 (a + b) - 3$ 的值为（）

A、-1 B、-3 C、1 D、2

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2. 要使 $\frac{x}{\sqrt{x - 2}}$ 有意义，则实数x的取值范围是（）

A、 $x \geq 2$ B、 $x > 0$ C、 $x \geq - 2$ D、 $x > 2$

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3. 北京冬奥会将于2022年在北京举行，届时将需要200000名城市志愿者和50000名赛会志愿者，数250000用科学记数法表示为（）

A、 $2.5 \times 10^{4}$ B、 $25 \times 10^{4}$ C、 $0.25 \times 10^{6}$ D、 $2.5 \times 10^{5}$

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4. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图①表示的是 $(+ 2) + (- 2)$ ，根据刘徵的这种表示法，可推算图②中所表示的算式为 $($ 　　 $)$

A、 $(+ 3) + (+ 6)$ B、 $(- 3) + (- 6)$ C、 $(- 3) + (+ 6)$ D、 $(+ 3) + (- 6)$

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5. 下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 下列命题正确的是（）

A、若甲组数据的方差 $S_{甲}^{2} = 0.68$ ，乙组数据的方差 $S_{乙}^{2} = 0.54$ ，则甲组数据比乙组数据更稳定 B、从 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 中随机抽取一个数，抽到偶数的概率比抽到奇数的概率大 C、数据 $- 2 ， 1 、 3 、 4 、 4$ 的中位数是3，众数是4 D、若某种游戏活动的中奖率是 $30 %$ ，则参加这种活动10次必有3次中奖

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7. 如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 艺术课上，老师将一矩形纸片对折后再对折，如图所示，然后沿图中的虚线剪下，得到①和②两部分，将①展开后得到的平面图形一定是（）

A、三角形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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9. 中国 $5 G$ 技术世界领先，长沙市将在2021年基本实现 $5 G$ 信号全覆盖. $5 G$ 网络峰值速率为 $4 G$ 网络峰值速率的10倍，在峰值速率下传输4千兆数据， $5 G$ 网络比 $4 G$ 网络快90秒.若设 $4 G$ 网络的峰值速率为每秒传输x千兆数据，则由题意可列方程（）

A、 $\frac{4}{10 x} - \frac{4}{x} = 90$ B、 $\frac{4}{x} - \frac{4}{10 x} = 90$ C、 $\frac{40}{x} - \frac{4}{x} = 90$ D、 $\frac{4}{x} - \frac{40}{x} = 90$

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10. 边长为 1 的正方形 OABC 的顶点 A 在 x 正半轴上，点 C 在 y 正半轴上，将正方形 OABC 绕顶点 O 顺时针旋转 75°，如图所示，使点 B 恰好落在函数y=ax²（a＜0）的图象上，则 a 的值为（）

A、- $\sqrt{2}$ B、﹣1 C、- $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ D、- $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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二、填空题

11. 一个单项式满足下列两个条件：①含有两个字母；②次数是3．请写出一个同时满足上述两个条件的单项式．

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12. 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹为120°，AB长为25cm，则纸扇外边缘弧BC长为cm.

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13. 如图， $△ A B C ≌ △ D C B ， A C$ 与 $B D$ 相交于点E，若 $∠ A C B = 40 °$ ，则 $∠ B E C$ 等于.

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14. 钓鱼岛是中国固有领土，2021年4月26日，国家自然资源部发布了钓鱼岛地形地貌调查报告，钓鱼岛中央山脊呈东西走向，北坡稍缓，南坡陡峭，已知主峰高华峰北坡 $A B$ 坡度 $i = 1 ： 1.7$ ，海平面上BC的水平距离约为615米，则主峰高华峰的高度 $A C$ 约为米.（精确到1米）

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15. 在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的位置如图所示，其中 $B (- 1 ， - 1) ， A B = 3 ， B C = 4$ ， $A B / / y$ 轴，则顶点D的坐标为.

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16. 如图，点O是三角形 $A B C$ 内的一点， $O A = O B = O C = 4 ， ∠ B A C = 45 °$ ，已知 $S_{△ A O C} - S_{△ A O B} = 2$ ，则 $∠ B O C =$ ， $S_{△ A B C} =$ .

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三、解答题

17. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - | \sqrt{3} - 1 | + {(π - 1)}^{0} + 3 \tan 30 °$

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18. 先化简，再求值： ${(2 a - 1)}^{2} + 6 a (a + 1) - (3 a + 2) (3 a - 2)$ ，其中 $a^{2} + 2 a - 2021 = 0$ .

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19. 如图所示，平面直角坐标系 $x O y$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， $△ A B C$ 顶点都在网格线的交点上，点B坐标为 $(- 3 ， 0)$ ，点C坐标为 $(- 2 ， 2)$ .

（ 1 ）画出 $△ A B C$ 向右平移4个单位的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 2 ）画出 $△ A B C$ 关于x轴的对称图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

（ 3 ）写出点A绕B点顺时针旋转 $90 °$ 对应的点的坐标.

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20. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校组织全校学生进行了党史知识竞赛，参赛学生均获奖.为了解本次竞赛获奖的分布情况，从中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次被抽取的部分人数是名；

(2)、把条形统计图补充完整；

(3)、某班有4名获特等奖的学生小利、小芳、小明、小亮，班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求小利被选中的概率.

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21. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， ∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点O，以点O为圆心， $O C$ 长为半径作圆.

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ C A O = 30 ° ， O C = 4$ ，求阴影部分面积.

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22. 已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货11吨；用3辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货19吨，某物流公司现有50吨货物，计划租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？

(2)、请你帮该物流公司设计，有几种租车方案？

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23. 数学课上，老师布置了一道尺规作图题：如图1，已知直线l和l直线外一点D，用直尺和圆规作过点D且与直线l平行的直线.
小姝的作法是：

①在直线l上任取两点 $A 、 B$ ；②以D为圆心， $A B$ 长为半径作圆弧；③以B为圆心， $D A$ 为半径作圆弧，两段圆弧交于点C；④连接 $C D$ ，则直线 $C D$ 即为直线l的平行线.

(1)、根据小姝的作法，请你证明直线 $C D / /$ 直线l；

(2)、在第（1）问条件下，如图2，在线段 $C D$ 上取一点E，连接 $B E$ 并延长交 $A D$ 的延长线于P，连接 $A E 、 B D$ 交于点M，连接 $P M$ 并延长交 $C D$ 于F，交 $A B$ 于G.
①求证： $\frac{D F}{G B} = \frac{E F}{G A}$ ；

②求 $△ P A G$ 与 $△ P G B$ 的面积之比.

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24. 如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $k ((k > 0)$ 倍，则称这样的方程为“k系方程”.如方程 $(x - 1) (x - 2) = 0$ 的两根分别为： $x_{1} = 1 ， x_{2} = 2 ， x_{2} = 2 x_{1}$ ，则方程 $(x - 1) (x - 2) = 0$ 为“2系方程”.

(1)、下列方程是“3系方程”的是（填序号即可）；
① $(3 x + 1) (x + 1) = 0$ ；② $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ；③ ${(x - 4)}^{2} = 4$ .

(2)、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 是“2系方程”.
①求证： $b^{2} - \frac{9}{2} a c = 0$ ；

②若 $c = 2$ ，且关于x的函数 $y = a x^{2} - \frac{b^{2}}{3} x + 2$ ，当 $\frac{1}{a} \leq x \leq \frac{2 a + 1}{a}$ 时的最大值为1，求a的值.

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25. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线L与x轴交于 $A ， B$ 两点，且经过点 $C (0 ， - 2)$ ，抛物线的顶点D的坐标为 $(\frac{3}{2} ， - \frac{25}{8})$ .

(1)、求抛物线L的函数表达式；

(2)、如图1，点E为第四象限抛物线L上一动点，过点E作 $E G ⊥ B C$ 于点G，求 $E G$ 的最大值，及此时点E的坐标；

(3)、如图2，连接 $A C ， B C$ ，过点O作直线 $l / / B C$ ，点 $P ， Q$ 分别为直线l和抛物线L上的点.试探究：在第一象限是否存在这样的点 $P ， Q$ ，使 $△ P Q B ∽ △ C A B$ .若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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