河南省周口市沈丘县2021年数学中考二模试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列各数，绝对值比1小的数是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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2. 下列几何体中，其主视图为三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年2月20日，党史学习教育动员大会在北京召开.习近平总书记号召全党同志要以优异成绩迎接建党一百周年.中央组织部党内统计数据显示，截至2019年底，中国共产党党员总数为9191.4万名，约为9191万.将9191万用科学记数法表示为（）

A、 $0.9191 \times 10^{7}$ B、 $0.9191 \times 10^{8}$ C、 $9.191 \times 10^{7}$ D、 $9.191 \times 10^{8}$

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4. 如果 $a b > 0$ ， $b c < 0$ ，那么一次函数 $y = - \frac{a}{b} x - \frac{b}{c}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $⊙ A$ ， $⊙ B$ ， $⊙ C$ ， $⊙ D$ ， $⊙ E$ 相互外离，它们的半径都是2，顺次连接五个圆心得到五边形 $A B C D E$ ，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（）

A、 $6 π$ B、 $5 π$ C、 $4 π$ D、 $3 π$

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6. $x$ 为实数， $\frac{4}{x^{2} + 3 x} - (x^{2} + 3 x) = 3$ ，那么 $x^{2} + 3 x$ 的值为（）

A、1 B、-4或1 C、-4 D、4或-1

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7. 已知函数 $y = \frac{2}{1 + x}$ ，其中 $f (a)$ 表示 $x = a$ 时的函数值，则 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{1}{2020}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{1}{2}) + f (1) + f (2) + \cdot \cdot \cdot + f (2020) + f (2021)$ 的值为（）

A、2020 B、2021 C、4040 D、4041

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8. 在 $3 \times 3$ 的正方形方格中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的位置和大小分别如图所示，则 $∠ 1 + ∠ 2 =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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9. 如图， $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 都是边长为2 cm的等边三角形，它们的边 $B C$ ， $E F$ 在同一条直线 $l$ 上，点 $C$ ， $E$ 重合，现将 $△ A B C$ 沿着直线 $l$ 以2cm/s的速度向右移动， $△ D E F$ 沿着直线 $l$ 以1cm/s的速度向右移动，直至点 $B$ 与 $F$ 重合时停止移动.在此过程中，设点 $B$ 移动的时间为 $x$ ，两个三角形重登部分的面积为 $y$ ，则 $y$ 随 $x$ 变化的函数图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 引理：在 $△ A B C$ 中，若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A B^{2} + A C^{2} = 2 A D^{2} + 2 C D^{2}$ .（中线长公式，不用证明，可以直接应用）根据这个引理，解决下面的问题：如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ，点 $P$ 在以 $B C$ 为直径的半圆上运动，则 $P A^{2} + P D^{2}$ 的最小值是（）

A、 $2 \sqrt{10}$ B、38 C、40 D、68

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二、填空题

11. 不透明袋子中装有9个球，其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是蓝球的概率是.

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12. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为；

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13. 解方程： $\sqrt{x + 7} - \sqrt{x + 2} = \sqrt{x - 1}$ ， $x =$ .

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14. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $E$ 是边 $A B$ 的中点，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，连接 $D E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，其中 $∠ A B C = ∠ A C D = 90 °$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则 $A F$ 的长为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $∠ B A C = 135 °$ ， $D$ 为边 $B C$ 的中点，若 $A D = 1.5$ ，则 $A C$ 的长度为.

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三、解答题

16. 已知 $m^{2} - 2 m - 1 = 0$ ， $n^{2} + 2 n - 1 = 0$ ，且 $m n \neq 1$ ，求 $\frac{m n - m + 1}{n}$ 的值.

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17. 为支持新冠肺炎疫情防控工作，响应中央号召，全国广大人民踊跃捐款.某校七年级全体同学参加了“我为抗疫出份力”的捐款活动，随机抽查了部分同学捐款的情况，统计如图所示，

(1)、本次抽查的学生人数是多少？补全条形统计图.

(2)、本次捐款金额的众数和中位数分别是多少元？

(3)、以全校七年级学生按800名估计，捐款总金额约有多少元？

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18. 2017年9月，中俄海军在日本海进行“海上联合–2017”军事演习.反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1300米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离海平面的下潜深度.（结果保留整数.参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， $\sqrt{3}$ ≈1.7）

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19. 冰封文教店用1200元购进了甲、乙两种钢笔，已知甲种钢笔进价为每支12元，乙种钢笔进价为每支10元。在销售时甲种钢笔售价为每支15元，乙种钢笔售价为每支12元，全部售完后共获利270元。

(1)、求冰封文教店购进甲、乙两种钢笔各多少支？

(2)、冰封文教店以原价再次购进甲、乙两种钢笔，且购进甲种钢笔的数量不变，而购进乙种钢笔的数量是第一次的2倍，乙种钢笔按原售价销售，而甲种钢笔降价销售，当两种钢笔销售完毕时，要使再次购进的钢笔获利不少于340元，甲种钢笔每支最低售价应为多少元？

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20. 如图， $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A C$ 是直径， $A B$ 是弦，连接 $P B$ ，且 $P A = P B$ .

(1)、求证： $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $∠ A P B = 120 °$ ，连接 $O P$ ， $∠ O P B$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的值.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- m ， m)$ 在反比例函数 $y = \frac{- m^{2}}{x} (x < 0)$ 的图象上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{- 2 m^{2}}{x} (x > 0)$ 的图象上，矩形 $A B C D$ 与坐标轴的交点分别为 $H$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $A B // y$ 轴，连接 $A E$ ， $A F$ ，分别交坐标轴于点 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ .

(1)、求证： $∠ E A F$ 为定值；

(2)、若 $M$ 为 $O H$ 的中点，求 $\tan ∠ A N M$ .

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22. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A B = 4$ .

(1)、求抛物线的解析式：

(2)、如图，证明：对于 $y$ 轴上任意一点 $D (0 ， b) (b < - 3)$ ，都存在过点 $D$ 的直线交抛物线于 $E$ ， $F$ 两点，使得 $D E = E F$ ；

(3)、将该抛物线在 $- 4 \leq x \leq 0$ 之间的部分图象记为 $Ω$ ，将图象 $Ω$ 在直线 $y = t$ 下方的部分沿 $y = t$ 翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数的图象，记这个函数的最大值为 $m$ ，最小值为 $n$ ，若 $m - n \leq 6$ ，求 $t$ 的取值范围.

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23. 问题情景：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”，按照此定义，我们学过的平行四边形中的菱形、正方形等都是“垂美四边形”，“菱形”也是“垂美四边形”.

概念理解：

(1)、如图2，已知等腰梯形 $A B C D$ 是“垂美四边形”， $A B = 6$ ， $C D = 8$ ，求 $A D$ 的长.

(2)、如图3，已知四边形 $A B C D$ 是“垂美四边形”，试探究其两组对边 $A B$ ， $C D$ 与 $B C$ ， $A D$ 之间的数量关系，并写出证明过程.

(3)、如图4，分别以 $Rt △ A B C$ 的直角边 $A C$ 和斜边 $A B$ 为边向外作正方形 $A C F G$ 与正方形 $A B D E$ ，连接 $C E$ ， $B G$ ， $G E$ ， $C E$ 与 $B G$ 交于点 $O$ ，已知 $A C = 3$ ， $A B = 5$ ，求 $△ O G E$ 的中线 $O H$ 的长.

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