福建省2021年数学中考定心卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在实数-3，-1，0，2中，比-2小的数是（）

A、-3 B、-1 C、0 D、2

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2. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $3 a^{2} - 4 a^{2} = - 1$ B、 $- {(a^{3})}^{2} = a^{6}$ C、 $8 a^{6} \div 2 a^{2} = 4 a^{3}$ D、 $(- 2 a) \cdot (- a) = 2 a^{2}$

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4. 2021年3月26日，国家航天局发布两幅由“天问一号”探测器拍摄的南、北半球火星侧身影像，该影像是探测器飞行至距离火星1.1万千米处，利用中分辨率相机拍摄的，将1.1万用科学记数法表示为（）

A、 $11 \times 10^{3}$ B、 $1.1 \times 10^{4}$ C、 $1.1 \times 10^{5}$ D、 $0.11 \times 10^{5}$

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5. 如图，有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 在数轴上的对应点分别是 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，若 $a + c = 0$ ，则 $d (b + c)$ 的值（）

A、大于0 B、小于0 C、等于0 D、不确定

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2$ ，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使 $B D = 3 C D$ ，若 $E$ 是 $A C$ 的中点，则 $D E$ 的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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7. 在 $▱ A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 为对角线 $B D$ 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 $A E C F$ 一定为平行四边形的是（）

A、 $A E // C F$ B、 $∠ D A F = ∠ B C E$ C、 $B F = D E$ D、 $A F = C E$

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8. 我国古代的数学著作《九章算术》中有下列问题：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺，问每日各织多少布？设她第一天织布 $x$ 尺，则下面所列方程正确的是（）

A、 $x + 2 x + 4 x + 8 x + 16 x = 5$ B、 $x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x = 5$ C、 $x + 2 x + 4 x + 6 x + 8 x = 5$ D、 $x + 2 x + 4 x + 8 x + 10 x = 5$

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9. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $\overset{⌢}{A C} = 2 \overset{⌢}{A B}$ ， $∠ A B C = 38 °$ ，连接 $O A$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $∠ A M C$ 的度数是（）

A、108° B、109° C、110° D、112°

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10. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ ，当 $x > 0$ 时，函数的最小值为 $- 2$ ；当 $x \leq 0$ 时，函数的最小值为 $- 1$ ，则 $b c$ 的值是（）

A、-2 B、1 C、2 D、-2或2

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二、填空题

11. 计算： ${(- 2)}^{0} - \sqrt[3]{8} =$ ．

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12. 已知一个等腰三角形的一个外角为82°，则这个等腰三角形的底角为.

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13. 已知 $x = 4 - y$ ， $x y = 2$ ，计算 $x^{2} + y^{2}$ 的值为.

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14. 一艘轮船只有在涨潮的时候才能驶入港口，已知该港口每天涨潮的时间为早上5：00至7：00和下午5：00至6：00，则该艘轮船在一昼夜内可以进港的概率是.

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15. 如图，正五边形 $A B C D E$ 的边长为4，两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $F$ 点，以 $C$ 点为圆心， $C F$ 长为半径画弧交 $B C$ 于 $G$ 点，则图中阴影部分的面积为.（结果保留 $π$ ）

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16. 已知直线 $y = k x + 4 (k < 0)$ 交双曲线 $y = \frac{m}{x} (m > 0)$ 于 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ $(x_{1} < x_{2})$ 两点，交 $x$ 轴于点 $C$ .若 $A B = 2 B C$ ，则 $m k$ 的值是.

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 x + 5 > 3 (x - 1) \\ 4 x > \frac{x + 7}{2} \end{cases}$

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18. 如图，点 $E$ 在正方形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上， $F$ 为 $C B$ 延长线上一点，且 $D E = B F$ ，连接 $A E$ ， $A F$ .求证： $A E = A F$ .

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19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{x - 1} - 1) \div \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x - 1}$ ，其中 $x = 2 - \sqrt{2}$ .

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20. 第四届数字中国建设峰会于2021年4月25-26日在福州举行，“福建特产”助力福州打动中国，某特产公司为峰会设计手工礼品，投入 $w$ 元.若以2包茉莉花茶和1件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作600份礼品；若以1包茉莉花茶和3件脱胎漆器作为一份礼品，则刚好可制作400份礼品.

(1)、若 $w = 240000$ ，求1包茉莉花茶与1件脱胎漆器的制作成本各是多少？

(2)、若把 $w$ 元钱全部用于制作茉莉花茶，总共可以制作多少包茉莉花茶？

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21. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ .

(1)、在边 $B C$ 上求作一点 $D$ ，使 $∠ B A D = 45 °$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，求 $C D$ 的长.

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22. “让几千万农村贫困人口生活好起来，是我心中的牵挂.”习近平总书记多次对精准扶贫、精准脱贫作出重要指示.某村为脱贫致富，种植了脐橙，根据套袋情况估计，大约会收获100000个脐橙.现从脐橙树上随机摘下100个脐橙进行测重，统计单个脐橙的重量，得到如下图所示的频数分布直方图.

根据频数分布直方图，解答下列问题：

(1)、以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，求单个脐橙的平均重量；

(2)、经销商与该村签订了脐橙收购协议，现有两种装箱方案：

方案一：将脐橙采用随机混装的方式装箱，每箱装有脐橙10千克，每箱70元；

方案二：将脐橙按下表的一、二、三等级标准分别装箱，每箱50个，

价格如表所示：

等级	一等品	二等品	三等品
单个脐橙重量（克）	$360 ~ 480$	$280 ~ 360$	$200 ~ 280$
价格（元/箱）	180	120	60

根据所学知识判断，该村采用哪种方案装箱更合适，并说明理由.

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 边于点 $D$ ， $E$ 为 $B C$ 中点，连接 $D E$ .

(1)、求证： $D E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、 $F$ 为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $D F$ ， $B F$ ，若 $D F = 1 + \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{3} A B$ ，求劣弧 $\overset{⌢}{B D}$ 的长.

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24. 如图①，在 $△ A B C$ 和 $△ D E C$ 中， $∠ B A C = ∠ E D C = 90 °$ ， $A B = A C = 4$ ， $D E = D C = \sqrt{2}$ .现将 $△ D E C$ 绕着点 $C$ 旋转一定角度后，再平移线段 $B A$ 得到线段 $E F$ （点 $B$ 与点 $E$ 对应），连接 $D A$ ， $D F$ .

(1)、如图②，当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上时，求线段 $C F$ 的长；

(2)、当点 $E$ 与点 $A$ 在直线 $B C$ 的同侧时，探究 $D A$ 与 $D F$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；

(3)、连接 $B F$ ，求线段 $B F$ 长的最大值.

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25. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - c (c > 0)$ 的顶点为 $A$ ，点 $M (m ， n)$ 为第三象限抛物线上的一点，过 $M$ 点作直线 $M B$ ， $M C$ 交抛物线于 $B$ ， $C$ 两点（点 $B$ 在点 $C$ 的左侧）， $M C$ 交 $y$ 轴于 $D$ 点，连接 $B C$ .

(1)、当 $B$ ， $C$ 两点在 $x$ 轴上，且 $△ A B C$ 为等腰直角三角形时，求 $c$ 的值；

(2)、当 $B C$ 经过 $O$ 点， $M C$ 经过 $O A$ 的中点 $D$ ，且 $O C = 2 O B$ 时，设直线 $B M$ 交 $y$ 轴于 $E$ 点，求证： $M$ 为 $B E$ 的中点；

(3)、若 $△ M B C$ 的内心在直线 $x = m$ 上，设 $B C$ 的中点为 $N$ ，直线 $l_{1}$ 经过 $N$ 点且垂直于 $x$ 轴，直线 $l_{2}$ 经过 $M$ ， $A$ 两点，记 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的交点为 $P$ ，求证 $P$ 点在一条新抛物线上，并求这条抛物线的解析式.

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