四川省成都市2021-2022学年九年级上学期数学开学试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

1. 下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $a > b$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $- 2 a < - 2 b$ B、 $a m < b m$ C、 $a - 3 > b - 3$ D、 $\frac{a}{3} + 1 > \frac{b}{3} + 1$

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3. 下列由左边到右边的变形中，是因式分解的为（）

A、 $10 x^{2} y^{3} = 5 x y^{2} \cdot 2 x y$ B、 $m^{2} - n^{2} = (m + n) (m - n)$ C、 $3 m (R + r) = 3 m R + 3 m r$ D、 $x^{2} - x - 5 = (x + 2) (x - 3) + 1$

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4. 若关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{k}{1 - x}$ 有增根，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、0 C、-2 D、-1

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5. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象如图，则不等式 $k x + b > 3$ 的解集为（）

A、 $x < - 2.5$ B、 $x > - 2.5$ C、 $x < 2$ D、 $x > 2$

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7. 如图，直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$ ，直线 $A C$ 和 $D F$ 被 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 所截，如果 $A B = 3$ ， $B C = 5$ ， $E F = 4$ ，那么 $D E$ 的长是（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{32}{5}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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8. 下列说法正确的是（）

A、一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 B、对角线互相垂直的四边形是菱形 C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D、对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

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9. 如图，在菱形ABCD中，AB=5、AC= 8，则该菱形的面积为（）

A、40 B、20 C、48 D、24

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10. 如图，矩形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $B E = A C$ ，连接 $D E$ .若 $∠ E = 70 °$ ，则 $∠ B A C$ 的度数是（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $60 °$

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）

11. 分解因式： $9 x^{2} - 1 =$ .

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12. 若分式 $\frac{| x | - 1}{x + 1} = 0$ ， $x =$ .

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13. 如图， $Δ A B C$ 沿 $B C$ 所在直线向右平移得到 $Δ D E F$ ，若 $E C = 2$ ， $B F = 10$ ，则 $B E =$ .

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14. 如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以顶点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $M$ ， $N$ ，再分别以 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于 $P$ 点，作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点 $D$ .若 $C D = 2$ ， $A B = 5$ ，则 $Δ A B D$ 的面积是 .

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三、解答题（本大题共6个小题，共54分.）

15.

(1)、分解因式： $m a^{2} - 6 m a + 9 m$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ .

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16. 解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x + 1 ⩾ x \\ \frac{3 - x}{6} - \frac{2 x - 2}{4} > - 1 \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来.

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17. 先化简，再求值： $(1 - \frac{a}{a^{2} + a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a^{2} + 2 a + 1}$ ，在0，1， $- 1$ ，2这四个数中选一个合适的数代入求值.

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18. 如图，在平面直角坐标系中， $Δ A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (- 4 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 2)$ .

（ 1 ）直接写出点 $B$ 关于原点对称的点 $B^{'}$ 的坐标：；

（ 2 ）平移 $Δ A B C$ ，使平移后点 $A$ 的对应点 $A_{1}$ 的坐标为 $(2 ， 1)$ ，请画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（ 3 ）画出 $Δ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 后得到的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ .

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19. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于 $D$ ，作 $D E / / B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，作 $D F / / A B$ 交 $B C$ 于点 $F$ .

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是菱形；

(2)、若 $∠ B E D = 150 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $C D = 3 \sqrt{2}$ ，求菱形 $B E D F$ 的周长.

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20. 已知正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $C D$ 上一点（不与 $C$ 、 $D$ 重合），将 $Δ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $Δ A B F$ ，如图1，连接 $E F$ ，分别交 $A C$ 、 $A B$ 于点 $P$ 、 $G$ .

(1)、求证： $Δ A P F ∽ Δ E P C$ ；

(2)、求证： $P A^{2} = P G \cdot P F$ ；

(3)、如图2，当点 $E$ 是边 $C D$ 的中点时， $P E = 1$ ，求 $A G$ 的长.

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四、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）

21. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a + b}{a - b} =$ .

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22. 若 $a$ 是方程 $3 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的根，则 $- 6 a^{2} + 10 a - 5 =$ .

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23. 如图， $M$ 是 $Δ A B C$ 的边 $B C$ 的中点， $A N$ 平分 $∠ B A C$ ，且 $B N ⊥ A N$ ，垂足为 $N$ ，且 $A B = 6$ ， $B C = 10$ ， $M N = 1.5$ ，则 $Δ A B C$ 的周长是.

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24. 若关于 $x$ 的一元一次不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 1 ⩽ 3 (x - 2) \\ \frac{x - a}{2} > 1 \end{array}$ 的解集为 $x ⩾ 5$ ，且关于 $y$ 的分式方程 $\frac{y}{y - 2} + \frac{a}{2 - y} = - 1$ 有非负整数解，则符合条件的所有整数 $a$ 的和为.

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点，连接 $C E$ ，将 $Δ B C E$ 沿 $C E$ 折叠得到 $Δ F C E$ ， $C F$ 与 $B D$ 交于点 $P$ ，则 $D P$ 的长为.

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五、解答题（本大题共3个小题，共30分。）

26. 为做好新冠疫情的防控工作，某学校需购买甲、乙两种消毒液共50箱.经了解，每箱甲消毒液的售价比每箱乙消毒液的售价贵40元，且用1200元购买甲消毒液的数量恰好与用960元购买乙消毒液的数量相同.

(1)、每箱甲、乙消毒液的售价分别是多少元？

(2)、若两种消毒液都购买，且购买乙消毒液的箱数不多于甲消毒液箱数的 $\frac{2}{3}$ ，请问甲、乙消毒液分别购买多少箱时，所需总费用最少？最少总费用是多少？

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27. 正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ 的边长分别为6和2，将正方形 $A E F G$ 绕点 $A$ 逆时针旋转.

(1)、当旋转至图1位置时，连接 $B E$ ， $D G$ ，线段 $B E$ 和 $D G$ 有何关系？请说明理由；

(2)、在图1中，连接 $B D$ ， $B F$ ， $D F$ ，请直接写出在旋转过程中 $Δ B D F$ 的面积最大值；

(3)、在旋转过程中，当点 $G$ ， $E$ ， $D$ 在同一直线上时，请求出线段 $B E$ 的长.

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28. 如图，在矩形 $A B C O$ 中，点 $C$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 在 $y$ 轴上，点 $B$ 坐标为 $(6 ， 8)$ .矩形 $A B C O$ 沿直线 $B D$ 折叠，使点 $A$ 落在对角线 $O B$ 上的 $E$ 处，折痕与 $O A$ 、 $x$ 轴分别交于点 $D$ 、 $F$ .

(1)、求点 $D$ 的坐标；

(2)、在直线 $B D$ 上找一点 $P$ ，使 $Δ O F P$ 的面积是 $Δ D E O$ 面积的两倍，求点 $P$ 的坐标；

(3)、连接 $E F$ ，在第二象限是否存在点 $G$ ，使得 $Δ E F G$ 是等腰直角三角形.若存在，请直接写出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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