湖北省武汉市江岸区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 将方程 $3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 化成一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）

A、 $3 ， - 6 ， 1$ B、 $3 ， 6 ， 1$ C、 $3 ， 1 - 6$ D、 $3 ， 1 ， 6$

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2. 在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} - 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(2 ， 1)$ D、 $(2 ， - 1)$

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4. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 4 x + m + 2 = 0$ 有一个根为-1，则另一个根为（）

A、2 B、-2 C、5 D、-5

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5. 将二次函数 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图象的解析式为（）

A、 $y = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} + 3$ B、 $y = \frac{1}{3} {(x + 1)}^{2} + 3$ C、 $y = \frac{1}{3} {(x - 1)}^{2} - 3$ D、 $y = \frac{1}{3} {(x + 1)}^{2} - 3$

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6. 《九章算术》总共收集了246个数学问题，这些算法要比欧洲同类算法早1500多年，对中国及世界数学发展产生过重要影响. 在《九章算术》中有很多名题，下面就是其中的一道. 原文：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”翻译：如图， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ C D$ 于点 $E$ . $C E = 1$ 寸， $A B = 10$ 寸，则可得直径 $C D$ 的长为（）

A、13寸 B、26寸 C、18寸 D、24寸

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7. “双十一”即指每年的11月11日，是指由电子商务代表的在全中国范围内兴起的大型购物促销狂欢日.2017年双十一淘宝销售额达到1682亿元.2019年双十一淘宝交易额达 $2684$ 亿元，设2017年到2019年淘宝双十一销售额年平均增长率为 $x ，$ 则下列方程正确的是（）

A、 $1682 (1 + x) = 2684$ B、 $1682 (1 + 2 x) = 2684$ C、 $1682 {(1 + x)}^{2} = 2684$ D、 $1682 (1 + x) + 1682 {(1 + x)}^{2} = 2684$

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{°} ， ∠ A B C = 40^{°}$ ．将 $△ A B C$ 绕点B逆时针旋转得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，使点C的对应点 $C^{'}$ 恰好落在边 $A B$ 上，则 $∠ {CAA}^{'}$ 的度数是（）

A、 $50^{°}$ B、 $70^{°}$ C、 $110^{°}$ D、 $120^{°}$

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9. 若无论 $x$ 取何值，代数式 $(x + 1 - 3 m) (x - m)$ 的值恒为非负数，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、1

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 是实数，且 $a \neq 0$ ）的图象的对称轴是直线 $x = 2$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 和点 $B (x_{2} ， y_{z})$ 为其图象上的两点，且 $y_{1} < y_{2}$ （）

A、若 $x_{1} - x_{2} < 0 ，$ 则 $x_{1} + x_{2} - 4 < 0$ B、若 $x_{1} - x_{2} < 0 ，$ 则 $x_{1} + x_{2} - 4 > 0$ C、若 $x_{1} - x_{2} > 0 ，$ 则 $a (x_{1} + x_{2} - 4) > 0$ D、若 $x_{1} - x_{2} > 0 ，$ 则 $a (x_{1} + x_{2} - 4) < 0$

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二、填空题

11. 点 $M (1 ， - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是．

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12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $3 x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个相等的实数根；则 $m$ 的值为．

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13. 如图，四边形 $A B C E$ 是 $⊙ О$ 的内接四边形， $D$ 是 $C B$ 延长线上的一点， $∠ A B D = 40 ° ，$ 那么 $∠ A O C$ 的度数为 $^{\circ}$

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14. 如图，把小圆形场地的半径增加 $6 m$ 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为 $m .$

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15. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a ， b ， c$ 为常数， $a \neq 0 ， c > 0$ ）上有五点 $(- 1 ， p) (0 ， t) 、 (1 ， n)$ 、 $(2 ， t) 、 (3 ， 0)$ ；有下列结论：① $b > 0$ ；②关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根是 $- 1$ 和 $3$ ；③ $p + 2 t < 0$ ；④ $m (a m + b) \leq - 4 a - c (m$ 为任意实数）．其中正确的结论（填序号即可）．

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16. 如图，四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C ， B D$ 所成的锐角为 $60^{\circ} ， A C + B D = 10$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积最大值为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} + x - 6 = 0$ .

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18. 10月11日，2020中国女超联赛在昆明海堙基地落幕，最终武汉车都江大队夺得冠军．本赛季共有 $x$ 支球队参加了第一阶段的比赛，每两队之间进行一场比赛，第一阶段共进行了 $45$ 场比赛，求 $x$ 的值．

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19.
如图，AD=CB，求证：AB=CD．

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20. 如图，已知 $A ， B ， C$ 均在 $⊙ O$ 上，请用无刻度的直尺作图．

(1)、如图1，若点 $D$ 是 $A C$ 的中点，试画出 $∠ B$ 的平分线；

(2)、若 $∠ A = 42^{\circ}$ ，点 $D$ 在弦 $B C$ 上，在图2中画出一个含 $48^{\circ}$ 角的直角三角形．

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21. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 4 x - 3$

(1)、若 $- 3 \leq x \leq 3$ ，则 $y$ 的取值范围为（直接写出结果）；

(2)、若 $- 8 \leq y \leq - 3$ ，则 $x$ 的取值范围为_（直接写出结果）；

(3)、若 $A (m ， y_{1}) ， B (m + 1 ， y_{2})$ 两点都在该函数的图象上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

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22. 某公司经过市场调查，整理出某种商品在某个月的第天的售价与销量的相关信息如下表：

第 $x$ 天

售价（元件）

日销售量（件）

$1 \leq x \leq 30$

$x + 60$

$300 - 10 x$

已知该商品的进价为40元/件．设销售该商品的日销售利润为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式；

(2)、问销售该商品第几天时，日销售利润最大，最大日销售利润为多少元？

(3)、问在当月有多少天的日销售利润不低于5440元．请直接写出结果．

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23. 如图

(1)、（问题背景）如图1， $Р$ 是正三角形 $A B C$ 外一点， $∠ A P B = 30^{\circ}$ ，则 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2}$ ？小明为了证明这个结论，将 $Δ P A B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60^{\circ} ，$ 请帮助小明完成他的作图；

(2)、（迁移应用）如图2，在等腰 $R t Δ A B C$ 中， $B A = B C ， ∠ A B C = 90^{\circ}$ ，点 $P$ 在 $Δ A B C$ 外部，使得 $∠ B P C = 45^{\circ}$ ，若 $S_{△ P A C} = 4.5$ ，求 $P C$ ；

(3)、（拓展创新）如图3，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C ，$ 点 $E$ 在四边形 $A B C D$ 内部．且 $D E = E C ，$ $∠ D E C = 90^{\circ} ，$ $∠ A E B = 135 °$ ， $A D = 3 ， B C = 4 ，$ 直接写出 $A B$ 的长．

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24. 已知抛物线 $C ： y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ ，顶点为 $(0 ， 0)$ ．

(1)、求 $b ， c$ 的值；

(2)、如图1，若 $a = 1 ， P$ 为 $y$ 轴右侧抛物线 $C$ 上一动点，过 $P$ 作直线 $P N ⊥ x$ 轴交 $x$ 轴于点 $N ，$ 交直线 $l ： y = \frac{1}{2} x + 2$ 于点 $M$ ，设点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，当 $2 P M = P N$ 时，求 $m$ 的值；

(3)、如图2，点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 为 $y$ 轴正半轴上一定点，点 $A ， B$ 均为 $y$ 轴右侧抛物线 $C$ 上两动点，若 $∠ A P O = ∠ B P y$ ，求证：直线 $A B$ 经过一个定点．

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第 $x$ 天	售价（元件）	日销售量（件）
$1 \leq x \leq 30$	$x + 60$	$300 - 10 x$