湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x^{2} = 1$ 的解是（）

A、-1 B、1 C、0 D、±1

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2. 二次函数y=x²﹣2x+2的顶点坐标是（）

A、（1，1） B、（2，2） C、（1，2） D、（1，3）

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3. 下列图形是中心对称图形的有（）个.
①平行四边形：②等边三角形；③线段；④角

A、1 B、2 C、3 D、4

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4. 二次函数 $y = x^{2}$ 的图象的对称轴是（）

A、 $y = 0$ B、 $x = 0$ C、 $x = 0$ 或 $y = 1$ D、 $y = 1$

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5. 如图，函数 $y = a x^{2} - 2 x + 1$ 和 $y = a x - a$ ( $a$ 是常数，且 $a \neq 0$ )在同一平面直角坐标系的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 已知二次函数 $y = (m - 3) x^{m^{2} - 7}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-3 B、±3 C、3 D、 $\pm \sqrt{5}$

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7. 以原点为中心，把点 $A (3 ， 6)$ 逆时针旋转270°，得到点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标为（）

A、 $(6 ， 3)$ B、 $(- 3 ， - 6)$ C、 $(6 ， - 3)$ D、 $(- 6 ， 3)$

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8. 如图是 $3 \times 3$ 的小方格构成的正方形 $A B C D$ ，若将其中的两个小方格涂黑，使得涂黑后的整个 $A B C D$ 图案（含阴影）既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这样的图案有（）种.

A、8 B、6 C、4 D、2

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9. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是三角形的三边长，则关于 $x$ 的方程 $(a + b) x^{2} + 2 c x + (a + b) = 0$ 根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、有且只有一个实数根 D、没有实数根

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 为常数），根据下表所列 $y$ 与 $x$ 的几组对应值，则方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 一个根的范围是（）

$x$

3.23

3.24

3.25

3.26

$y$

$- 0.06$

$- 0.02$

0.03

0.09

A、 $- 0.02 < x < 0.03$ B、 $3.23 < x < 3.24$ C、 $3.24 < x < 3.25$ D、 $3.25 < x < 3.26$

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11. 如图，将等边 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，旋转角为 $α (0 ° < α < 60 °)$ .若 $∠ B D A^{'} = 160 °$ ，则 $α$ 的大小是（）

A、20° B、40° C、60° D、80°

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12. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，下列结论：
① $a b c < 0$ ；② $a + 2 b + 4 c \leq 0$ ；③方程 $a x^{2} + b x + c - 4 = 0$ 有两个相等的实数根；④方程 $a {(x - 1)}^{2} + b (x - 1) + c = 0$ 的两根是 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 2$

其中正确的结论有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 一元二次方程 $x (x - 5) = x$ 化成一般形式.

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14. 在直角坐标系中，已知 $A (- 2 ， 3)$ ， $B (1 ， 0)$ ，则点 $A$ 关于点 $B$ 的对称点 $A^{'}$ 的坐标为.

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15. 把抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2}$ 向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式是.

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16. 东宇村种植的椪柑2017年每亩收 $3700 k g$ ，2019年每亩收 $4477 k g$ ，则椪柑每亩产量的年平均增长率为.

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三、解答题

17.

(1)、用公式法解方程： $2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x = - 1$ .

(2)、用配方法解方程： $3 x^{2} - 6 x + 4 = 0$ .

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18. 如图，四边形 $A B C D$ 的两条对线 $A C$ 、 $B D$ 互相垂直， $A C + B D = 10$ ，设 $A C = x$ ， $S_{四边形 A B C D} = y$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数关系式.

(2)、画出函数图象.

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19. 如图，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = a$ ，点 $E$ 为边 $A C$ 上任意一点，点 $D$ 为 $A B$ 的中点，过点 $D$ 作 $D F ⊥ D E$ 交 $B C$ 于点 $F$ .求证： $C E + C F$ 为定值.

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20. 要设计长 $5 m$ 、宽 $4 m$ 的图案，其中有两横、两纵的彩条（图中阴影部分），已知横竖彩条的宽度比为 $3 ： 2$ ，如果要使彩条所占面积是整个图案面积的 $\frac{1}{2}$ ，求横纵彩条的宽度.

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (5 m + 1) x + 4 m^{2} + m = 0$ .

(1)、求证：无论 $m$ 取何实数，原方程总有两个实数根.

(2)、设方程的两实数根为 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 26$ ，求 $m$ 的值.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 6 c m$ ， $B C = 8 c m$ ，点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 边向点 $B$ 以 $1 c m / s$ 的速度运动；点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $B C$ 边向点 $C$ 以 $2 c m / s$ 的速度运动，如果 $P$ ， $Q$ 分别从 $A$ ， $B$ 同时出发，当其中一个点到达终点时另一个点也随之停止运动，设 $△ P Q B$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ ， $Q$ 的运动时间为 $t$ .

(1)、经过几秒后， $P Q$ 的长度等于 $4 \sqrt{2} c m$ ？

(2)、 $△ P Q B$ 的面积 $S$ 随时间 $t$ 如何变化？写出 $S$ 与 $t$ 的函数解析式及 $t$ 的取值范围.

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23. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 45 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，连接 $B D$ 、 $C E$ ，直线 $B D$ 、 $C E$ 相交于点 $F$ .

(1)、求证 $B D = C E$ .

(2)、求 $∠ B F C$ 的度数.

(3)、若 $A B = A C = 2$ ，当四边形 $A D F C$ 是菱形时，求 $B F$ 的长.

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24. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + c$ 过点 $(- 2 ， 2)$ ， $(4 ， 5)$ ，过定点 $F (0 ， 2)$ 的直线 $y = k x + b$ 与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $B$ 在点 $A$ 的右侧，过点 $B$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $C$ .

(1)、直接写出抛物线的解析式.

(2)、求证： $B F = B C$ .

(3)、若 $k = 1$ ，在直线 $y = k x + b$ 下方抛物线上是否存在点 $Q$ ，使得 $△ Q B F$ 的面积最大？若存在，求出点 $Q$ 的坐标及 $△ Q B F$ 的最大面积；若不存在，请说明理由.

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$x$	3.23	3.24	3.25	3.26
$y$	$- 0.06$	$- 0.02$	0.03	0.09