河北省石家庄市高邑县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\sqrt{x + 2}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A、 $x \leq 2$ B、 $x \geq - 2$ C、 $x < - 2$ D、 $x > - 2$

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2. 约分： $- 3 x y^{2} \cdot \frac{2 x}{18 y^{3}} =$ （）

A、 $- \frac{x^{2}}{3 y}$ B、 $- \frac{x^{2}}{y}$ C、 $- \frac{x^{2}}{3 y^{2}}$ D、 $- \frac{x}{3 y}$

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3. $\frac{22}{7}$ ， $π - \sqrt{3}$ ， $\sqrt[3]{9}$ ， $3.14159$ ， $\sqrt{16}$ ， $0.3$ ， $0.101001001 \dots$ （相邻两个 $1$ 之间依次多一个 $0$ ）中，无理数的个数是（）

A、 $2$ 个 B、 $3$ 个 C、 $4$ 个 D、 $5$ 个

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4. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）

A、l₁ B、l₂ C、l₃ D、l₄

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{3} = 3 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 3$ C、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ D、 $\sqrt{8} = 4 \sqrt{2}$

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6. 下列条件中，不能判定 $Δ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $∠ A = ∠ B + ∠ C$ B、 $a : b : c = 5 : 12 : 13$ C、 $a^{2} = (b + c) (b - c)$ D、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 3 : 4 : 5$

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7. 如果关于x的方程 $\frac{m}{3 - x} - \frac{1 - x}{x - 3} = 0$ 无解，则m的值是（）

A、2 B、0 C、1 D、–2

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8. 若将实数 $- \sqrt{3}$ ， $\sqrt{7}$ ， $\sqrt{11}$ ， $2 \sqrt{3}$ 这四个数分别表示在数轴上，则其中可能被如图所示的墨迹覆盖的数是（）.

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{7}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9.
如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A、BD=CD B、AB=AC C、∠B=∠C D、∠BAD=∠CAD

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10. 如图，在等腰 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C$ 与 $∠ A C B$ 的平分线交于点O，过点O做 $D E // B C$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点D、E，若 $Δ A D E$ 的周长为18，则 $A B$ 的长是（）

A、8 B、9 C、10 D、12

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11. 如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（　）

A、 B、 C、 D、

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12. 如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和 $\sqrt{3}$ ，若A点关于B点的对称点为点C，则点C所对应的实数为(　　)

A、2 $\sqrt{3}$ －1 B、1＋ $\sqrt{3}$ C、2＋ $\sqrt{3}$ D、2 $\sqrt{3}$ ＋1

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13. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD的面积是（）

A、24 B、30 C、36 D、42

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14. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C = B C = 2$ ， $A D ， C E$ 是 $Δ A B C$ 的两条中线， $P$ 是 $A D$ 上一个动点，则下列线段的长度等于 $B P + E P$ 最小值的是（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、1 D、 $\sqrt{5}$

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15. 如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：①AF=AC；②DF=CF；③∠AFC=∠C；④∠BFD=∠CAF．
其中正确的结论个数有．（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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16. 某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资8000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了一间直播教室，总投资追加了4000元.根据题意，求出原计划每间直播教室的建设费用是（）

A、1600元 B、1800元 C、2000元 D、2400元

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二、填空题

17. 化简： $\sqrt{12} + \sqrt{75}$ 的结果为．

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18. 如图 $Δ A B C ≅ Δ D C B$ ， $∠ A = 75^{\circ}$ ， $∠ D B C = 40^{\circ}$ ， $∠ D C A$ 则的度数为．

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19. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE ，且D点落在对角线D′处．若AB＝3，AD＝4，则ED的长为．

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20. 对于实数a、b，定义一种新运算“ $\otimes$ ”为： $a \otimes b = \frac{1}{a - b^{2}}$ ，这里等式右边是实数运算．例如： $1 \otimes 3 = \frac{1}{1 - 3^{2}} = - \frac{1}{8}$ ，则方程 $x \otimes (- 2) = \frac{2}{x - 4} - 1$ 的解是．

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三、解答题

21.

(1)、计算： ${(\sqrt{3} - 2)}^{2} + \sqrt{12} - 6 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

(2)、化简并求值： $\frac{a - 2}{a + 1} \div (a - 1 - \frac{3}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{3} - 2$ ．

(3)、解方程： $\frac{2}{x + 1} + \frac{5}{1 - x} = \frac{- 10}{x^{2} - 1}$ ．

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22. 如图， AB＝CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，AE＝DF.

求证：

(1)、CE＝BF；

(2)、AB//CD.

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23. 某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线 $M N$ 的距离分别为 $A E = 2 km$ ， $B F = 3 km$ ， $E F = 12 km$ ，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．

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24. 观察下列一组等式，然后解答后面的问题
$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1$ ，

$(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，

$(\sqrt{4} + \sqrt{3}) (\sqrt{4} - \sqrt{3}) = 1$ ，

$(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4}) = 1 \dots \dots$

(1)、观察以上规律，请写出第 $n$ 个等式： $(n$ 为正整数）．

(2)、利用上面的规律，计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$

(3)、请利用上面的规律，比较 $\sqrt{18} - \sqrt{17}$ 与 $\sqrt{19} - \sqrt{18}$ 的大小．

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25. 一个电器超市购进A、B两种型号的电风扇后进行销售，若一台A种型号的电风扇进价比一台B种型号的电风扇进价多30元，用2000元购进A种型号电风扇的数量是用3400元购进B种型号电风扇的数量的一半．

(1)、求每台A种型号电风扇和B种型号的电风扇进价分别是多少？

(2)、该超市A种型号电风扇每台售价260元，B种型号电风扇每件售价190元，超市根据市场需求，决定再采购这两种型号的电风扇共30台，若本次购进的两种电风扇全部售出后，总获利不少于1400元，求该超市本次购进A种型号的电风扇至少是多少台？

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26.

(1)、猜想：如图1，已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，直线m经过点A， $B D ⊥$ 直线m， $C E ⊥$ 直线m，垂足分别为点D、E试猜想 $D E$ 、 $B D$ 、 $C E$ 有怎样的数量关系，请直接写出；

(2)、探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，D，A、E三点都在直线m上，并且有 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C = α$ （其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且 $△ A B F$ 和 $△ A C F$ 均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段 $D E$ 的长度始终为n，连接 $B D$ 、 $C E$ ，若 $∠ B D A = ∠ A E C = ∠ B A C$ ，试判断 $△ D E F$ 的形状，并说明理由．

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