北京市西城区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. $3^{- 2}$ 的计算结果为（）

A、6 B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、9

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2. 下列图形中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算中正确的是（）

A、 $a^{2} + a = a^{3}$ B、 $a^{5} \cdot a^{2} = a^{10}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{8}$ D、 ${(a b^{2})}^{2} = a^{2} b^{4}$

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4. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $∠ C = ∠ F = 90 °$ ，添加下列条件，不能判定这两个三角形全等的是（）

A、 $∠ A = ∠ D$ ， $∠ B = ∠ E$ B、 $A C = D F$ ， $A B = D E$ C、 $∠ A = ∠ D$ ， $A B = D E$ D、 $A C = D F$ ， $C B = F E$

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5. 化简分式 $\frac{x y + x}{x^{2}}$ 的结果是（）

A、 $\frac{y}{x}$ B、 $\frac{y + 1}{x}$ C、 $y + 1$ D、 $\frac{y + x}{x}$

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6. 如果 $m^{2} + m = 5$ ，那么代数式 $m (m - 2) + {(m + 2)}^{2}$ 的值为（）

A、14 B、9 C、 $- 1$ D、 $- 6$

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7. 已知一次函数 $y = k x - 6$ ，且y随x的增大而减小．下列四个点中，可能是该一次函数图象与x轴交点的是（）

A、 $(0 ， 0)$ B、 $(2 ， 0)$ C、 $(- 2 ， 0)$ D、 $(6 ， 0)$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D，E分别在边 $A B$ ， $B C$ 上，点A与点E关于直线 $C D$ 对称．若 $A B = 7$ ， $A C = 9$ ， $B C = 12$ ，则 $△ D B E$ 的周长为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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9. 在学校组织的秋季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座 $450m$ 高的山．乙组的攀登速度是甲组的1.2倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少 $15min$ ．如果设甲组的攀登速度为 $x m/min$ ，那么下面所列方程中正确的是（）

A、 $\frac{450}{x} = \frac{450}{x + 15} + 1.2$ B、 $\frac{450}{1.2 x} = \frac{450}{x} - 15$ C、 $\frac{450}{x} = 1.2 \times \frac{450}{x + 15}$ D、 $\frac{450}{1.2 x} = \frac{450}{x} + 15$

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10. 如图1，四边形 $A B C D$ 是轴对称图形，对角线 $A C$ ， $B D$ 所在直线都是其对称轴，且 $A C$ ， $B D$ 相交于点E．动点P从四边形 $A B C D$ 的某个顶点出发，沿图1中的线段匀速运动．设点P运动的时间为x，线段 $E P$ 的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则点P的运动路径可能是（）

A、 $C \to B \to A \to E$ B、 $C \to D \to E \to A$ C、 $A \to E \to C \to B$ D、 $A \to E \to D \to C$

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二、填空题

11. 若分式 $\frac{1}{x - 4}$ 有意义，则x的取值范围是．

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12. 点 $A (1 ， - 3)$ 关于x轴对称的点的坐标为．

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13. 计算： $10 a^{2} b^{3} \div (- 5 a b^{3}) =$ ．

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14. 如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ，点D在边 $B C$ 上， $∠ E A C = 36 °$ ，则 $∠ B =$ °．

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15. 已知小腾家、食堂、图书馆在同一条直线上．小腾从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查阅资料，然后回家．下面的图象反映了这个过程中小腾离家的距离y（单位：m）与时间x（单位： $\min$ ）之间的对应关系．根据图象可知，小腾从食堂到图书馆所用时间为 $\min$ ；请你根据图象再写出一个结论：．

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16. 如图1，先将边长为a的大正方形纸片 $A B C D$ 剪去一个边长为b的小正方形 $E B G F$ ，然后沿直线 $E F$ 将纸片剪开，再将所得的两个长方形按如图2所示的方式拼接（无缝隙，无重叠），得到一个大的长方形 $A E G C$ ．根据图1和图2的面积关系写出一个等式：．（用含a，b的式子表示）

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17. 如图， $△ A B C$ 是等边三角形， $A D ⊥ B C$ 于点D， $D E ⊥ A C$ 于点E．若 $A D = 12$ ，则 $D E =$ ； $△ E D C$ 与 $△ A B C$ 的面积关系是： $\frac{S_{△ E D C}}{S_{△ A B C}} =$ ．

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18. 如图，一次函数 $y = a x + b$ 与 $y = c x + d$ 的图象交于点P．下列结论中，所有正确结论的序号是．
① $b < 0$ ；② $a c < 0$ ；③当 $x > 1$ 时， $a x + b > c x + d$ ；④ $a + b = c + d$ ；⑤ $c > d$ ．

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19. 我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： $\frac{a + 3}{a - 1} = \frac{(a - 1) + 4}{a - 1} = 1 + \frac{4}{a - 1}$ ， $\frac{2 a - 1}{a + 1} = \frac{2 (a + 1) - 3}{a + 1} = 2 - \frac{3}{a + 1}$ ．参考上面的方法，解决下列问题：

(1)、将 $\frac{a}{a + 1}$ 变形为满足以上结果要求的形式： $\frac{a}{a + 1} =$ ；

(2)、①将 $\frac{3 a + 2}{a - 1}$ 变形为满足以上结果要求的形式： $\frac{3 a + 2}{a - 1} =$ ；②若 $\frac{3 a + 2}{a - 1}$ 为正整数，且a也为正整数，则a的值为．

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三、解答题

20. 分解因式：

(1)、 $x^{3} - 25 x$ ；

(2)、 $m (a - 3) + 2 (3 - a)$ ．

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21. 计算： $\frac{1}{a - 1} + \frac{a - 3}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{a + 1}$ .

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22. 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．
已知：在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ．

求作：直线 $C D$ ，使得直线 $C D$ 将 $△ A B C$ 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．

作法：如图，①作直角边 $C B$ 的垂直平分线 $M N$ ，与斜边 $A B$ 相交于点D；②作直线 $C D$ ．所以直线 $C D$ 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵直线 $M N$ 是线段 $C B$ 的垂直平分线，点D在直线 $M N$ 上，

∴ $D C = D B$ ．（）（填推理的依据）

∴ $∠$ $= ∠$ ．

∵ $∠ A C B = 90 °$ ，

∴ $∠ A C D = 90 ° - ∠ D C B$ ，

$∠ A = 90 ° - ∠$ ．

∴ $∠ A C D = ∠ A$ ．

∴ $D C = D A$ ．（）（填推理的依据）

∴ $△ D C B$ 和 $△ D C A$ 都是等腰三角形．

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23. 解方程： $\frac{x}{x - 3} + \frac{x + 8}{x (x - 3)} = 1$ ．

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24. 如图， $A B / / C D$ ，点E在 $C B$ 的延长线上， $∠ A = ∠ E$ ， $A C = E D$ ．

(1)、求证： $B C = C D$ ；

(2)、连接 $B D$ ，求证： $∠ A B D = ∠ E B D$ ．

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25. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} ： y = - \frac{2}{3} x + \frac{4}{3}$ 与x轴交于点A，直线 $l_{2} ： y = 2 x + b$ 与x轴交于点B，且与直线 $l_{1}$ 交于点 $C (- 1 ， m)$ ．

(1)、求m和b的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若将直线 $l_{2}$ 向下平移 $t (t > 0)$ 个单位长度后，所得到的直线与直线 $l_{1}$ 的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．

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26. 给出如下定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P_{1} (a ， b) ， P_{2} (c ， b) ， P_{3} (c ， d)$ ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ 的“最佳间距”．例如：如图，点 $P_{1} (- 1 ， 2) ， P_{2} (1 ， 2) ， P_{3} (1 ， 3)$ 的“最佳间距”是1．

(1)、点 $Q_{1} (2 ， 1)$ ， $Q_{2} (4 ， 1)$ ， $Q_{3} (4 ， 4)$ 的“最佳间距”是；

(2)、已知点 $O (0 ， 0)$ ， $A (- 3 ， 0)$ ， $B (- 3 ， y)$ ．
①若点O，A，B的“最佳间距”是1，则y的值为；

②点O，A，B的“最佳间距”的最大值为；

(3)、已知直线l与坐标轴分别交于点 $C (0 ， 3)$ 和 $D (4 ， 0)$ ，点 $P (m ， n)$ 是线段 $C D$ 上的一个动点．当点 $O (0 ， 0)$ ， $E (m ， 0)$ ， $P (m ， n)$ 的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P的坐标．

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27. 课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $B C$ 于点D，且 $A B + B D = A C$ ．求证： $∠ A B C = 2 ∠ A C B$ ．小明的方法是：如图2，在 $A C$ 上截取 $A E$ ，使 $A E = A B$ ，连接 $D E$ ，构造全等三角形来证明结论．

(1)、小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段 $A B$ 构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长 $A B$ 至F，使 $B F =$ ，连接 $D F$ ．请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线；

(2)、小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3，点D在 $△ A B C$ 的内部， $A D$ ， $B D$ ， $C D$ 分别平分 $∠ B A C$ ， $∠ A B C$ ， $∠ A C B$ ，且 $A B + B D = A C$ ．求证： $∠ A B C = 2 ∠ A C B$ ．请你解答小芸提出的这个问题；

(3)、小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 2 ∠ A C B$ ，点D在边 $B C$ 上， $A B + B D = A C$ ，那么 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明．

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28. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = k x + 3$ 与x轴的负半轴交于点A ，与y轴交于点B．点C在第四象限， $B C ⊥ B A$ ，且 $B C = B A$ ．

(1)、点B的坐标为，点C的横坐标为；

(2)、设 $B C$ 与x轴交于点D ，连接 $A C$ ，过点C作 $C E ⊥ x$ 轴于点E ．若射线 $A O$ 平分 $∠ B A C$ ，用等式表示线段 $A D$ 与 $C E$ 的数量关系，并证明．

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29. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于任意两点 $M (x_{1} ， y_{1}) ， N (x_{2} ， y_{2})$ ，定义如下：点M与点N的“直角距离”为 $| x_{1} - x_{2} | + | y_{1} - y_{2} |$ ，记作 $d_{M N}$ ．例如：点 $M (1 ， 5)$ 与 $N (7 ， 2)$ 的“直角距离” $d_{M N} = | 1 - 7 | + | 5 - 2 | = 9$ ．

(1)、已知点 $P_{1} (- 1 ， 0) ， P_{2} (- \frac{3}{2} ， \frac{1}{2}) ， P_{3} (- \frac{1}{2} ， \frac{1}{4}) ， P_{4} (- \frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ ，则在这四个点中，与原点O的“直角距离”等于1的点是；

(2)、如图，已知点 $A (1 ， 0) ， B (0 ， 1)$ ，根据定义可知线段 $A B$ 上的任意一点与原点O的“直角距离”都等于1．若点P与原点O的“直角距离” $d_{O P} = 1$ ，请在图中将所有满足条件的点P组成的图形补全；

(3)、已知直线 $y = k x + 2$ ，点 $C (t ， 0)$ 是x轴上的一个动点．
①当 $t = 3$ 时，若直线 $y = k x + 2$ 上存在点D ，满足 $d_{C D} = 1$ ，求k的取值范围；

②当 $k = - 2$ 时，直线 $y = k x + 2$ 与x轴，y轴分别交于点E ， F ．若线段 $E F$ 上任意一点H都满足 $1 \leq d_{C H} \leq 4$ ，直接写出t的取值范围．

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