北京市东城区2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-09-30 类型：期末考试

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一、单选题

1. 使 $\sqrt{x - 2}$ 有意义的x的取值范围是（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x \leq 2$ D、 $x \geq 0$

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2. 下列各式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{13}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{a^{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{5}{3}}$

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3. 若分式 $\frac{x - 1}{x + 1}$ 的值为0，则x的值是（　　　）

A、 $x = 1$ B、 $x = - 1$ C、 $x = \pm 1$ D、 $x \neq - 1$

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4. 下列各式中，运算正确的是（　　　）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = 2 a^{3}$ B、 ${(a^{2})}^{3} = a^{6}$ C、 ${(2 a^{2})}^{3} = 2 a^{6}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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5. 2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米 $= 1.0 \times 10^{- 9}$ 米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）

A、 $1.25 \times 10^{- 9}$ 米 B、 $1.25 \times 10^{- 8}$ 米 C、 $1.25 \times 10^{- 7}$ 米 D、 $1.25 \times 10^{- 6}$ 米

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6. 下列各式由左到右是分解因式的是（）

A、 $x^{2} + 6 x - 9 = (x + 3) (x - 3) + 6 x$ B、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ C、 $x^{2} - 2 x y - y^{2} = {(x - y)}^{2}$ D、 $x^{2} - 8 x + 16 = {(x - 4)}^{2}$

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7. 已知一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形是（）

A、九边形 B、八边形 C、七边形 D、六边形

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8. 如图所示，点O是 $△ A B C$ 内一点， $B O$ 平分 $∠ A B C ， O D ⊥ B C$ 于点D ，连接 $O A$ ，若 $O D = 5$ ， $A B = 20$ ，则 $△ A O B$ 的面积是（　　　）

A、20 B、30 C、50 D、100

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9. 如图， $∠ A O B = 60^{\circ}$ ，点P在边 $O A$ 上， $O P = 10$ ，点M、N在边 $O B$ 上， $P M = P N$ ，若 $M N = 2$ ，则 $O M$ 是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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10. 剪纸是我国传统的民间艺术．如图①，②将一张纸片进行两次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 因式分解： $x^{2} y - 4 y$ = ．

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12. 如果 $x^{2} - 10 x + m$ 是一个完全平方式，那么m的值是．

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13. 图（1）是一个长为2a ，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．

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14. 如图所示，已知P是 $A D$ 上的一点， $∠ A B P = ∠ A C P$ ，请再添加一个条件：，使得 $△ A B P ≌ △ A C P$ ．

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15. 小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为 $15cm$ 和 $20cm$ ，则这根铁丝的长为 $cm$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是 $B C$ 上一点， $A C = A D = D B ， ∠ B A C = 105 °$ ，则 $∠ B =$ °．

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17. 如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = B C = 4$ ，D为 $B C$ 的中点， $A D = 2 \sqrt{5}$ ，若P为 $A B$ 上一个动点，则 $P C + P D$ 的最小值为．

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18. 如图， $∠ M O N = 30 °$ ，点 $A_{1} ， A_{2} ， A_{3} ， A_{4}$ ，…在射线 $O N$ 上，点 $B_{1} ， B_{2} ， B_{3}$ ，…在射线 $O M$ 上，且 $△ A_{1} B_{1} A_{2} ， △ A_{2} B_{2} A_{3} ， △ A_{3} B_{3} A_{4}$ ，…均为等边三角形，以此类推，若 $O A_{1} = 1$ ，则 $△ A_{2021} B_{2021} A_{2022}$ 的边长为．

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三、解答题

19. 计算： $| - \sqrt{2} | + \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}} - {(π - 2)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ．

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20. 如图，点B，D，C，F在一条直线上， $A B = E F$ ， $A C = E D$ ， $∠ C A B = ∠ D E F$ ，求证： $A C / / D E$ ．

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21. 已知 $x^{2} - x + 1 = 0$ ，求代数式 ${(x + 1)}^{2} - (x + 1) (2 x - 1)$ 的值．

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22. 尺规作图：
如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路 $F G$ 和公路 $C E$ 的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等．如果你是红方的指挥员，请你在下图中标出蓝方指挥部点P的位置．（保留作图痕迹，不必写作法）

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23. 解方程： $\frac{x + 1}{x - 1}$ + $\frac{4}{x^{2} - 1}$ =1．

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24. 先化简，再求值： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，其中 $x = 2 + \sqrt{2}$ ．

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25. 列分式方程解应用题：
截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲､乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲､乙两种树苗每棵的价格．

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26. 已知 $△ A B C$ 是等边三角形，点D是 $A C$ 的中点，点P在射线 $B C$ 上，点Q在线段 $A B$ 上， $∠ P D Q = 120 °$ ．

(1)、如图1，若点Q与点B重合，求证： $D B = D P$ ；

(2)、如图2，若点P在线段 $B C$ 上， $A C = 8$ ，求 $A Q + P C$ 的值．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A C > B C$ ，D为 $A B$ 的中点，E为 $C A$ 延长线上一点，连接 $D E$ ，过点D作 $D F ⊥ D E$ ，交 $B C$ 的延长线于点F ，连接 $E F$ ．作点B关于直线 $D F$ 的对称点G ，连接 $D G$ ．

(1)、依题意补全图形；

(2)、若 $∠ A D F = α$ ．
①求 $∠ E D G$ 的度数（用含 $α$ 的式子表示）；

②请判断以线段 $A E ， B F ， E F$ 为边的三角形的形状，并说明理由．

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28. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (3 ， 0)$ ，且平行于y轴给出如下定义：点 $P (x ， y)$ 先关于y轴对称得点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于直线l对称得点 $P^{'}$ ，则称点 $P^{'}$ 是点P关于y轴和直线l的二次反射点．

(1)、已知 $A (- 4 ， 0) ， B (- 2 ， 0) ， C (- 3 ， 1)$ ，则它们关于y轴和直线l的二次反射点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的坐标分别是；

(2)、若点D的坐标是 $(a ， 0)$ ，其中 $a < 0$ ，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点 $D^{'}$ ，求线段 $D D^{'}$ 的长；

(3)、已知点 $E (4 ， 0)$ ，点 $F (6 ， 0)$ ，以线段 $E F$ 为边在x轴上方作正方形 $E F G H$ ，若点 $P (a ， 1)$ ， $Q (a + 1 ， 1)$ 关于y轴和直线l的二次反射点分别为 $P^{'} ， Q^{'}$ ，且线段 $P^{'} Q^{'}$ 与正方形 $E F G H$ 的边有公共点，求a的取值范围．

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