高中数学人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程

试卷更新日期：2021-09-30 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 抛物线 $y = a x^{2} (a \neq 0)$ 的焦点坐标是（）

A、 $(\frac{a}{4}, 0)$ B、 $(0, \frac{a}{4})$ C、 $(0, - \frac{1}{4 a})$ D、 $(0, \frac{1}{4 a})$

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2. 方程 $\frac{x^{2}}{1 + k} + \frac{y^{2}}{1 - k} = 1$ 表示双曲线，则实数 $k$ 的取值范围是（）.

A、 $- 1 < k < 1$ B、 $k > 0$ 或 $k < - 1$ C、 $k < 0$ D、 $k < - 1$ 或 $k > 1$

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3. 椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25 - k} + \frac{y^{2}}{16 - k} = 1 (k < 16)$ 的（）

A、长轴长相等 B、短轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等

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4. 青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一．如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面．若该花瓶的瓶口直径为瓶身最小直径的2倍，花瓶恰好能放入与其等高的正方体包装箱内，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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5. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是 $C$ 的右支上一点， $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，连接 $P F_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，若 $| F_{1} O | = 2 | O M |$ ( $O$ 为坐标原点)，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm 2 x$ C、 $y = \pm \sqrt{5} x$ D、 $y = \pm 3 x$

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6. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 $C$ 的中心为原点，焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 均在 $x$ 轴上， $C$ 的面积为 $2 \sqrt{3} π$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交 $C$ 于点 $A$ ， $B$ ，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为8．则 $C$ 的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{4 y^{2}}{3} = 1$

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7. 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A．B为两个定点，k为非零常数， $| \overset{⇀}{P A} | + | \overset{⇀}{P B} | = k$ ，则动点P的轨迹为双曲线；②曲线 $\frac{x^{2}}{4 - t} + \frac{y^{2}}{t - 1} = 1$ 表示焦点在y轴上的椭圆，则 $\frac{5}{2} < t < 4$ ；③方程 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 有相同的焦点．其中真命题的序号（）

A、②③④ B、①②③ C、①③④ D、①②④

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8. 若椭圆 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0 ， b_{2} > 0)$ 有公共的焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 是两条曲线的交点， $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，且 $e_{1} e_{2} = 1$ ，则 $e_{1} =$ （）

A、 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、

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二、多选题

9. 点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C$ 的两个焦点，椭圆 $C$ 上存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则椭圆 $C$ 的方程可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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10. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点是 $F_{1} 、 F_{2} ， P$ 是椭圆上一点，若 $| P F_{1} | = 2 | P F_{2} |$ ，则椭圆的离心率可以是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为其实轴的左右端点，且 $| F_{1} F_{2} | = \frac{b^{2}}{a}$ ，点 $P$ 为双曲线右支一点， $I$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列结论正确的有（）

A、离心率 $e = \sqrt{2} + 1$ B、点 $I$ 的横坐标为定值 $a$ C、若 $S_{△ I P F_{1}} = S_{△ I P F_{2}} + λ S_{△ I F_{1} F_{2}} (λ \in R)$ 成立，则 $λ = \sqrt{2} - 1$ D、若 $P H$ 垂直 $x$ 轴于点 $H$ ，则 ${| P H |}^{2} = | H A_{1} | \cdot | H A_{2} |$

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12. 已知曲线 $C$ 上任意一点到直线 $x = - 4$ 的距离比它到点 $F (2 ， 0)$ 的距离大2，则下列结论正确的是（）

A、曲线 $C$ 的方程为 $y^{2} = 8 x$ B、若曲线 $C$ 上的一点 $A$ 到点 $F$ 的距离为4，则点 $A$ 的纵坐标是 $\pm 4$ C、已知曲线 $C$ 上的两点 $M$ ， $N$ 到点 $F$ 的距离之和为10，则线段 $M N$ 的中点横坐标是5 D、已知 $A (3 ， 2)$ ， $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，则 $| P A | + | P F |$ 的最小值为5

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三、填空题

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为

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14. 已知过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点， $O$ 是坐标原点， $| AF | = 2$ 则 $Δ OAB$ 的面积是

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15. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 有公共焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是两条曲线的一个公共点，则 $\cos ∠ F_{1} P F_{2}$ 等于．

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16. 设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点，点 $P$ 在椭圆上，若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上，则 $\frac{| P F_{1} |}{| P F_{2} |}$ =.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $D$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点与椭圆 $Q$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）右焦点 $F_{1}$ 重合，且点 $P (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{6}}{2})$ 在椭圆 $Q$ 上.

(1)、求椭圆 $Q$ 的方程及离心率；

(2)、若倾斜角为 $45 °$ 的直线 $l$ 过椭圆 $Q$ 的左焦点 $F_{2}$ ，且与椭圆相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $△ A B F_{1}$ 的面积.

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18. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线D：y²=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，△ABO的面积为2 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求双曲线C的渐近线方程；

(2)、求p的值．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过 $A (2 ， 0) ， B (0 ， 1)$ 两点.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程及离心率.

(2)、设 $P$ 为第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $P A$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $P B$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ ，求证：四边形 $A B N M$ 的面积为定值.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的右焦点重合.

(1)、求抛物线 $C$ 的标准方程；

(2)、斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于不同两点 $A ， B$ ，求证： $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} \leq \frac{\sqrt{2} + 1}{2}$ .

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21. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上有一动点 $P$ ， $P$ 到椭圆 $C$ 的两焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 的距离之和等于 $2 \sqrt{2}$ ，椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆的方程；

(2)、若过点 $M (2 ， 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A 、 B$ ， $\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B} = t \overset{⇀}{O P}$ （0为坐标原点），且 $| P A - P B | < \frac{2 \sqrt{5}}{3}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

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22. 已知椭圆C₁： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C₂：x²=4y的焦点重合，F₁、F₂分别是椭圆C₁的左、右焦点，C₁的离心率e= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过F₂的直线l与椭圆C₁交于M，N两点，与抛物线C₂交于P，Q两点．

(1)、求椭圆C₁的方程；

(2)、当直线l的斜率k=﹣1时，求△PQF₁的面积；

(3)、在x轴上是否存在点A， $\vec{A M} \cdot \vec{A N}$ 为常数？若存在，求出点A的坐标和这个常数；若不存在，请说明理由．

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一、单选题

二、多选题

三、填空题

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