河南省驻马店市上蔡县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 在二次根式 $\sqrt{\frac{- 1}{x - 3}}$ 中，字母x的取值范围是（　　）

A、 $x \geq 3$ B、 $x > 3$ C、 $x < 3$ D、 $x \geq - 3$

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$ = $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{18}$ =2 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ • $\sqrt{3}$ = $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2}$ ÷ $\sqrt{\frac{1}{2}}$ =2

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3. 若一元二次方程 $- x^{2} + b x - 5 = 0$ 配方后为 ${(x - 3)}^{2} = k$ ，则 $b ， k$ 的值分别是（）

A、6，4 B、6，5 C、 $- 6 ， 5$ D、 $- 6 ， 4$

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4. 方程 $x^{2} - 2 = | x |$ 的根的个数是（）

A、4 B、2 C、1 D、0

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5. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= $\frac{3}{5}$ ，BC=6，则AB=（　　）

A、4 B、6 C、8 D、10

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6. 已知线段 $A B = 1$ ，C是线段 $A B$ 的黄金分割点，则 $A C$ 的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 或 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、以上都不对

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7. 如图，已知直线a//b//c，分别交直线m、n于点A，C，E，B，D，F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF的长为（）

A、 $\frac{9}{2}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、6 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把 $△ E F O$ 缩小，则点E的对应点 $E^{'}$ 的坐标为（　　）

A、（2，﹣1） B、（8，﹣4） C、（2，﹣1）或（﹣2，1） D、（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）

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9. 如图，矩形ABCD中，点E为AB边中点，连接AC、DE交于点F，若△AEF的面积为1，则△ABC的面积为（）

A、3 B、4 C、6 D、8

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x + k b + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数
$y = k x + b$ 的图象可能是：

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 计算： $\sqrt{27}$ $\cdot \sqrt{\frac{8}{3}} \div \sqrt{\frac{1}{2}}$ = ．

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12. 已知 $\frac{a + 2 b}{2 a - b} = \frac{9}{5}$ ，则a：b=.

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13. 4个数a ， b ， c ， d排列成 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$ ，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$ ．若 $| \begin{array}{l} 2 x & x + 1 \\ x - 2 & x + 1 \end{array} | = 6$ ，则 $x =$ ．

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14. 现要在一个长为40m，宽为26m的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使种植花草的面积为864m² ，那么小道的宽度应是m.

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15. 如图，矩形ABCD的边长AB＝3cm，AC＝3 $\sqrt{5}$ cm，动点M从点A出发，沿AB以1cm/s的速度向点B匀速运动，同时动点N从点D出发，沿DA以2cm/s的速度向点A匀速运动．若△AMN与△ACD相似，则运动的时间t为s．

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三、解答题

16. 先化简，再求值： $\frac{a - 3}{3 a^{2} - 6 a} \div (a + 2 - \frac{6 a - 13}{a - 2})$ ，其中 $x^{2} - 2 \sqrt{3} x + a = 0$ 有两个不相等的实数根，且a为非负整数．

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17. 阅读下面材料：
把方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 写成 $x^{2} - 4 x + 4 - 4 + 3 = 0$ ，即 ${(x - 2)}^{2} - 1^{2} = 0$ ．

因式分解得 $(x - 2 + 1) (x - 2 - 1) = 0$ ，

即 $(x - 1) (x - 3) = 0$ ．

发现： $1 + 3 = 4$ ， $1 \times 3 = 3$ ．

结论：方程 $x^{2} - (p + q) x + p q = 0$ 可变形为 $(x - p) (x - q) = 0$ ．

应用上面总结的解题方法，解下列方程：

(1)、 $x^{2} + 5 x + 6 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ ；

(3)、 $x^{2} + 3 x - 4 = 0$ ．

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18. 已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．

(1)、求证：△ABC∽△FCD；

(2)、若S_△FCD＝5，BC＝10，求DE的长．

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19. 收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：

(1)、2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？

(2)、2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？

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20. 如图，是规格为9×9的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：

(1)、请在网格中画出平面直角坐标系，使A的坐标为（﹣2，4），B的坐标为（﹣4，2）；

(2)、在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数，则点C的坐标是， △ABC的周长是（结果保留根号）；

(3)、把△ABC以点C为位似中心向右放大后得到△A₁B₁C，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△A₁B₁C的图形并写出点A₁的坐标．

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21. 阅读下列材料：已知实数m ， n满足 $(2 m^{2} + n^{2} + 1) (2 m^{2} + n^{2} - 1) = 80$ ，试求 $2 m^{2} + n^{2}$ 的值．
解：设 $2 m^{2} + n^{2} = t$ ，则原方程变为 $(t + 1) (t - 1) = 80$ ，整理得 $t^{2} - 1 = 80$ ，即 $t^{2} = 81$ ，∴ $t = \pm 9$ ．

∵ $2 m^{2} + n^{2} \geq 0$ ，∴ $2 m^{2} + n^{2} = 9$ ．

上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．

根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．

(1)、已知实数x ， y满足 $(2 x^{2} + 2 y^{2} + 3) (2 x^{2} + 2 y^{2} - 3) = 27$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值．

(2)、若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数．

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22. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 5$ ， $B P = 1$ ， $∠ M P N = 90^{\circ}$ ，将 $∠ M P N$ 绕点P从 $P B$ 处开始按顺时针方向旋转， $P M$ 交边 $A B$ （或 $A D$ ）于点E， $P N$ 交边 $A D$ （或 $C D$ ）于点F，当 $P N$ 旋转至 $P C$ 处时， $∠ M P N$ 停止旋转.

(1)、特殊情形：如图2，发现当 $P M$ 过点A时，PN也恰巧过点D，此时 $Δ A B P$ $Δ P C D$ （填“≌”或“∽”）；

(2)、类比探究：如图3，在旋转过程中， $\frac{P E}{P F}$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

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23. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，点P从点A开始沿边 $A B$ 向终点B以 $1 cm/s$ 的速度移动；与此同时，点Q从点B开始沿边 $B C$ 向终点C以 $2 cm/s$ 的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间为 $t s (t > 0)$ ．

(1)、 $P B =$ ， $B Q =$ ；（用含 $t$ 的代数式表示）

(2)、当t为何值时， $P Q$ 的长度等于 $5 cm$ ？

(3)、是否存在t的值，使得五边形 $A P Q C D$ 的面积等于 $26 {cm}^{2}$ ？若存在，请求出此时t的值；若不存在，说明理由．

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