河南省禹州市2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列古钱币图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(1 ， - 2)$

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3. 如图，已知 $A B$ 是⊙O的直径， $C D$ 是弦，若 $∠ A B D = 56 °$ ，则 $∠ B C D$ 等于（）

A、16° B、24° C、34° D、46°

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4. 若 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + a x + 2 b = 0$ 的解，则 $2020 - 2 a - 4 b$ 的值为（）

A、2018 B、2019 C、2020 D、2022

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5. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是 $\hat{C D}$ 上的任意一点，则∠APB的大小是（　　）

A、15° B、30° C、45° D、60°

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6. 若关于x的方程x²﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的值可能为（）

A、﹣4 B、﹣3 C、﹣2 D、0

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7. 如图，⊙O的直径 $C D = 12$ ， $A B$ 是⊙O的弦， $A B ⊥ C D$ ，垂足为P， $C P ： P O = 1 ： 2$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{15}$ C、16 D、8

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8. 函数 $y = a x^{2} - a (a \neq 0)$ 与 $y = a x - a (a \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 关于x轴对称， $∠ A O C = 60 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $O A = 2$ ，将四边形 $O A B C$ 绕点O逆时针旋转90°后得到四边形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ ，依此方式，绕点 O连续旋转2021次得到四边形 $O A_{2021} B_{2021} C_{2021}$ ，那么点 $B_{2021}$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， \sqrt{3} + 1)$ B、 $(3 ， 0)$ C、 $(0 ， - \sqrt{3} - 1)$ D、 $(- 3 ， 0)$

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10. 如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔 $0.4 m$ 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部 $0.5 m$ ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（）

A、 $0.8 m$ B、 $1.6 m$ C、 $2 m$ D、 $2.2 m$

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二、填空题

11. 若一元二次方程 $x^{2} - c = 0$ 的一个根为 $x = \sqrt{3}$ ，则另一个根为.

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12. 将抛物线 $y = {(x - 3)}^{2} - 2$ 向右平移1个单位长度后经过点 $A (2 ， m)$ ，则m的值为.

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13. 某市中学生篮球联赛实行单循环制，参加的每两支球队之间都要进行一场比赛，共要比赛45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，可列方程为.

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14. 如图，以O为圆心的圆与直线 $y = - x + 2$ 相交于A，B两点，若 $△ O A B$ 恰为等边三角形，则弧 $A B$ 的长度为.

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，C为直角顶点， $∠ A B C = 20 °$ ，O为斜边 $A B$ 的中点，将 $O A$ 绕点O逆时针旋转 $θ (0 ° < θ < 180 °)$ 至 $O P$ ，当 $△ B C P$ 恰为以 $B C$ 为腰的等腰三角形时， $θ$ 的值为.

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三、解答题

16. 解方程： ${(x - 3)}^{2} = 2 x - 6$ .

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17. 如图，在单位长度为1的平面直角坐标系中，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 4 ， 5)$ ， $B (- 3 ， 0)$ ， $C (- 2 ， 2)$ .

（ 1 ）若 $△ A B C$ 经过平移后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，已知点 $C_{1}$ 的坐标为 $(3 ， 2)$ ，写出顶点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ 的坐标，并画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ .

（ 2 ）将 $△ A B C$ 绕点O按逆时针方向旋转90°得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，画出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

（ 3 ）若 $△ A B C$ 和 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ 关于原点O成中心对称，画出 $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ .

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18. 如图，在半圆O中，P是直径

A B

上一动点，且

A B = 6 c m

，过点P作

P C ⊥ A B

交半圆O于点C，连接

B C

，过点P作

P D ⊥ B C

于点D.小明根据学习函数的经验，对线段

A P

，

C P

，

P D

的长度之间的关系进行了探究.下面是小明的探究过程，请补充完整.对于动点P在

A B

上的不同位置，画图，测量，得到了线段

A P

，

C P

，

P D

的长度的几组值，如下表：

位置长度	位置1	位置2	位置3	位置4	位置5	位置6	位置7	位置8	位置9	位置10
$A P / c m$	0.37	0.88	1.59	2.01	2.44	3.00	3.58	4.37	5.03	5.51
$C P / c m$	1.45	2.12	2.65	2.83	2.95	3.00	2.95	2.67	2.21	1.65
$P D / c m$	1.40	1.96	2.27	2.31	2.27	2.13	1.87	1.39	0.89	0.48

在 $A P$ ， $C P$ ， $P D$ 的长度这三个量中，若确定 $A P$ 的长度是自变量， $C P$ 的长度和 $P D$ 的长度都是这个自变量的函数.

(1)、在同一平面直角坐标系

x O y

中，分别画出

C P

，

P D

的长度关于

A P

的长度的函数图象.

(2)、结合函数图象，解决问题：当

C P = 2 P D

时，

A P

的长度约为

c m

.（精确到

0.1 c m

）.

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19. 地摊经济开放以来，小王以每个40元的价格购进一种玩具，计划以每个60元的价格销售，后来为了尽快回本决定降价销售.已知这种玩具销售量 $y$ （个）与每个降价 $x$ （元）（ $0 < x < 20$ ）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

(1)、求y与x之间的函数解析式.

(2)、该玩具每个降价多少元时，小王获利最大？最大利润是多少元？

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20. 如图，△ABC为⊙O的内接三角形，BC为⊙O的直径，在线段OC上取点D（不与端点重合），作DG⊥BC，分别交AC、圆周于E、F，连接AG，已知AG＝EG.

(1)、求证：AG为⊙O的切线；

(2)、已知AG＝2，填空：
①当四边形ABOF是菱形时，∠AEG＝°；

②若OC＝2DC，△AGE为等腰直角三角形，则AB＝.

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21. 阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程 $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$ ，通过因式分解可以把它转化为 $x (x^{2} - 2 x - 3) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ，可得方程 $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$ 的解.
问题：

(1)、方程 $x^{3} - 2 x^{2} - 3 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ .

(2)、求方程 $x^{3} = 6 x^{2} + 16 x$ 的解.

(3)、拓展：
用“转化”思想求方程 $\sqrt{- 2 x + 15} = x$ 的解.

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22.

(1)、问题发现：
如图1，已知C为线段 $A B$ 上一点，分别以线段 $A C$ ， $B C$ 为直角边作等腰直角三角形， $∠ A C D = 90 °$ ， $C A = C D$ ， $C B = C E$ ，连接 $A E$ ， $B D$ ，线段 $A E$ ， $B D$ 之间的数量关系为；位置关系为.

(2)、拓展探究：
如图2，把 $Rt △ A C D$ 绕点C逆时针旋转，线段 $A E$ ， $B D$ 交于点F，则 $A E$ 与 $B D$ 之间的关系是否仍然成立？请说明理由.

(3)、拓展延伸：
如图3，已知 $A C = C D$ ， $B C = C E$ ， $∠ A C D = ∠ B C E = 90 °$ ，连接 $A B$ ， $A E$ ， $A D$ ，把线段 $A B$ 绕点A旋转，若 $A B = 5 ，$ ， $A C = 3$ ，请直接写出旋转过程中线段 $A E$ 的最大值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 交x轴于A，B两点，已知点A的坐标为 $(- 4 ， 0)$ ， $A O = 2 B O$ .

(1)、求抛物线的解析式.

(2)、D是抛物线位于第三象限的一动点，过点D作y轴的平行线，分别交线段 $A C$ ，x轴于E，F两点，请问线段 $D E$ 是否存在最大值？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由，

(3)、在抛物线的对称轴上存在点P，使得 $∠ O P C = ∠ O A C$ ，请直接写出点P的坐标.

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