河南省南阳市淅川县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列式子中属于最简二次根式的是（）.

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt{0.5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{\frac{1}{5}}$

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2. 下列各组线段（单位：cm）中，成比例的是（）．

A、1，2，3，4 B、6，5，10，15 C、3，2，6，4 D、15，3，4，10

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3. 用配方法解方程 $3 x^{2} - 6 x + 1 = 0$ ，则方程可变形为（）.

A、 ${(x - 3)}^{2} = \frac{1}{3}$ B、 $3 {(x - 3)}^{2} = \frac{1}{3}$ C、 ${(x - 1)}^{2} = \frac{2}{3}$ D、 ${(3 x - 1)}^{2} = 1$

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4. 如图，已知直线 $a // b // c$ ，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{D E}{E F} =$ （　　　）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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5. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + x = k$ 有两个不相等实数根，k的取值范围是(　　)

A、 $k \geq - \frac{1}{4}$ B、 $k > - \frac{1}{4}$ C、 $k \leq \frac{1}{4}$ D、 $k < \frac{1}{4}$

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6. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，下边各组边的比不能表示sinB的（　　）

A、 $\frac{A C}{A B}$ B、 $\frac{D C}{A C}$ C、 $\frac{D C}{B C}$ D、 $\frac{A D}{A C}$

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7. 据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x，根据题意列方程为（）.

A、 $400 (1 + 2 x) = 900$ B、 $400 \times 2 (1 + x) = 900$ C、 $400 {(1 + x)}^{2} = 900$ D、 $400 + 400 (1 + x) + 400 {(1 + x)}^{2} = 900$

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8. 如图，在平行四边形ABCD中， $A E ： B E = 2 ： 1$ ，F是AD的中点，射线EF与AC交于点G，与CD的延长线交于点P，则 $\frac{A G}{G C}$ 的值为（）.

A、 $5 ： 8$ B、 $3 ： 8$ C、 $3 ： 5$ D、 $2 ： 5$

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二、填空题

9. 若式子 $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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10. 计算： ${(\sqrt{5} - 2)}^{2020} {(\sqrt{5} + 2)}^{2021}$ 的结果是．

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11. 对于任意实数a，b，定义： $a ◆ b = a^{2} + a b + b^{2}$ .若方程 $(x ◆ 2) - 5 = 0$ 的两根记为m、n，则 $m^{2} + n^{2} =$ .

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12. 如图，在等边△ABC中，AB＝12，P、Q分别是边BC、AC上的点，且∠APQ＝60°，PC＝8，则QC的长是.

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13. 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB，AC于D，E两点，连接CD，如果AD=1，那么tan∠BCD=.

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三、解答题

14. 先化简，再求值： $(1 - \frac{4}{x + 3}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{2 x + 6}$ ，其中 $x = \sqrt{2} + 1$ .

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15. 已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m²=0.

(1)、求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；

(2)、若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根.

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16. 如图是一矩形广告牌 $A C G E$ ， $A E = 2$ 米，为测量其高度，某同学在B处测得A点仰角为 $45 °$ ，该同学沿 $G B$ 方向后退6米到F处，此时测得广告牌上部灯杆顶端P点仰角为 $37 °$ .若该同学眼睛离地面的垂直距离为1.7米，灯杆 $P E$ 的高为2.25米，求广告牌的高度( $A C$ 或 $E G$ 的长).(精确到1米，参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.6$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ )

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17. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，今年猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注，据统计：今年7月20日猪肉价格比今年年初上涨了60%，某市民今年7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．

(1)、问：今年年初猪肉的价格为每千克多少元？

(2)、某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克，经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪内每天有1560元的利润，并且可能让顾客得到实惠，猪肉的售价应该下降多少元？

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18. 将 $△ A B C$ 绕点A逆时针方向旋转 $θ$ ，并使各边长变为原来的n倍，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，我们将这种变换记为 $[θ ， n]$ .

(1)、问题发现
如图①，对 $△ A B C$ 作变换 $[60 ° ， \sqrt{3}]$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ，则 $S_{△ A B^{'} C^{'}} ： S_{△ A B C} =$ ；直线 $B C$ 与直线 $B^{'} C^{'}$ 所夹的锐角度数为.

(2)、拓展探究
如图②， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 35 °$ 且 $A B ： A C = \sqrt{2}$ ，连结 $B B^{'}$ ， $C C^{'}$ .对 $△ A B C$ 作变换 $[60 ° ， \sqrt{3}]$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ，求 $S_{△ A B B^{'}} ： S_{△ A C C^{'}}$ 的值及直线 $B B^{'}$ 与直线 $C C^{'}$ 相交所成的较小角的度数，并就图②的情形说明理由.

(3)、问题解决
如图③， $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，对 $△ A B C$ 作变换 $[θ ， n]$ 得 $△ A B^{'} C^{'}$ ，使点B、C、 $C^{'}$ 在同一直线上，且四边形 $A B B^{'} C^{'}$ 为矩形，请直接写出n的值.

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