河南省南阳市宛城区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 若式子 $\sqrt{\frac{5}{1 - x}}$ 有意义，则实数x的值可以是（　　）

A、0 B、1 C、2 D、5

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2. 已知 $\frac{a}{b}$ = $\frac{2}{3}$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的值是（　　）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 下列二次根式中，不能与 $\sqrt{6}$ 合并的是（　　）

A、 $\sqrt{24}$ B、 $\sqrt{0.6}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{6}}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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4. 关于x的一元二次方程x²+（k﹣2）x+k²﹣1＝0的一个根是0，则k的值是（　　）

A、1 B、﹣1 C、±1 D、2

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5. 从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（ $\sqrt{3}$ +1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（　　）

A、 $\sqrt{3}$ +1 B、5 $\sqrt{3}$ ﹣1 C、 $\sqrt{3}$ ﹣2 D、1﹣ $\sqrt{3}$

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6. 若 $x = 2 \sqrt{7} - 5$ ，则 $x^{2} + 10 x - 2$ 的值为（　　）

A、10 $\sqrt{7}$ +1 B、10 $\sqrt{7}$ C、﹣13 D、1

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7. 定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11.则方程x※1＝x的根的情况为（）

A、无实数根 B、有两个相等的实数根 C、有两个不相等的实数根 D、只有一个实数根

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8. 某口罩加工厂 $2020$ 年一月份口罩产值达 $50$ 万元，第一季度总产值达 $175$ 万元，若第二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）

A、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ B、 $50 {(1 + x)}^{2} = 175$ C、 $50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$ D、 $50 + 50 (1 + x) + 50 {(1 + x)}^{2} = 175$

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9. 等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程 $x^{2} - 10 x + k = 0$ 的两个实数根，则该等腰三角形的周长是（　　）

A、14 B、14或15 C、4或6 D、24或25

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10. 如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　）

A、4 B、 $\frac{16}{3}$ C、10 D、 $\frac{32}{3}$

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二、填空题

11. 方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是.

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12. 如图是小孔成像原理示意图，若点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，则像CD的高度是cm.

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13. 已知M＝ $\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$ ﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2020时，所对应M值的总和是.

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14. “黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE与△ABC的面积之比是.

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15. 如图，A、B、C、D都是格点（小正方形的顶点），动点E在线段AC上，若点A的坐标是（1，1），则当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是.

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三、解答题

16. 解方程： $\frac{4}{3}$ x²﹣4x﹣ $\frac{1}{3}$ ＝0.

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17. 计算：

(1)、 ${(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{- 1} - \sqrt{12} + | 1 - \sqrt{3} | - {(π - \sqrt{3})}^{0}$ ；

(2)、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{3}) (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{3}) + {(3 \sqrt{2} - 2)}^{2}$ .

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18. 求当m为何值时，关于x的方程mx²﹣（2m﹣1）x+m﹣2＝0有实数根.

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19. 如图，E是▱ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F.

(1)、图中的相似三角形共有　　.

A、7对； B、6对； C、5对； D、4对.

(2)、求证：OB²＝OE•OF.

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20. “通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式.例如：解方程x﹣ $\sqrt{x}$ ＝0，就可利用该思维方式，设 $\sqrt{x}$ ＝y，将原方程转化为： $y^{2} - y ＝ 0$ 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x.这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解决下列问题：

(1)、填空：若 $2 {(x^{2} + y^{2})}^{2} + (x^{2} + y^{2}) = 0$ ，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为；

(2)、直接写出方程 $x^{2} - 3 | x | + 2 = 0$ 的根；

(3)、解方程： $x^{2} - x +$ 2 $\sqrt{x^{2} - x}$ ﹣8＝0.

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21. （教材呈现）如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容.

(1)、（定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.

(2)、（定理应用）如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，则∠MPN的度数是.

(3)、如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE.将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值.

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22. （问题提出）在2020抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班56名同学共通过多少次电话呢？
（模型构建）用点 $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 、…、 $M_{56}$ 分别表示第1、2、3、…、56名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：

（问题解决）

(1)、填写如图中第5个图中S的值为.

(2)、通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为，则当n＝56时，对应的S＝.

(3)、若该班全体女生相互之间共通话253次，求该班共有多少名女生？

(4)、若该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信182条，则该班数学兴趣小组的人数是.

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23.

(1)、（证明）如图①，在△ABC中，D为BC上一点，∠CAD＝∠B.求证：CA²＝CD•CB.

(2)、（应用）如图②，在▱ABCD中，P为BC上一点，Q为BA延长线上一点，∠CQP＝∠D.若CQ＝6，CP＝3，求AD的长.

(3)、（拓展）如图③，在菱形ABCD中，P是BC上一点，BD∥PQ，BD＝2PQ，∠ABC＝2∠PAQ，当BP＝1，AQ＝3 $\sqrt{2}$ 时，请直接写出菱形ABCD的边长.

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