河南省南阳市唐河县2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列等式成立的是（）

A、 $\sqrt{81} = \pm 9$ B、 $| \sqrt{5} - 2 | = - \sqrt{5} + 2$ C、 ${(- \frac{1}{2})}^{- 1} = - 2$ D、 ${(\tan 45 ° - 1)}^{0} = 1$

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2. 如图，某超市自动扶梯的倾斜角 $∠ A B C$ 为 $31 °$ ，扶梯长 $A B$ 为 $9$ 米，则扶梯高 $A C$ 的长为（）

A、 $9 sin 31 °$ 米 B、 $9 cos 31 °$ 米 C、 $9 tan 31 °$ 米 D、 $9$ 米

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3. 将方程x²﹣6x＋2=0配方后，原方程变形为（）

A、(x+3)²=﹣2 B、(x﹣3)²=﹣2 C、(x﹣3)²=7 D、(x＋3)²=7

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4. 在 $\sqrt{9 x} 、 \sqrt{45} 、 \sqrt{\frac{a b}{4}} 、 \sqrt{a b} 、 \sqrt{\frac{2}{3}}$ 中，最简二次根式的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 $E F / / B C$ ，交AD于点F，过点E作 $E G / / A B$ ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）

A、 $\frac{A E}{E C} = \frac{E F}{C D}$ B、 $\frac{E G}{A B} = \frac{E F}{C D}$ C、 $\frac{A F}{F D} = \frac{B G}{G C}$ D、 $\frac{C G}{B C} = \frac{A F}{A D}$

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6. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 $A B$ 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 $∠ A C E = α$ ；（2）量得测角仪的高度 $C D = a$ ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 $D B = b$ .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

A、 $a + b \tan α$ B、 $a + b \sin α$ C、 $a + \frac{b}{\tan α}$ D、 $a + \frac{b}{\sin α}$

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7. 定义运算： $m ☆ n = m n^{2} - m n - 1$ .例如 $: 4 ☆ 2 = 4 \times 2^{2} - 4 \times 2 - 1 = 7$ .则方程 $1 ☆ x = 0$ 的根的情况为（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、只有一个实数根

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8. 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 $\frac{1}{3}$ ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（）

A、（3，2） B、（3，1） C、（2，2） D、（4，2）

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9. 如图，空地上（空地足够大）有一段长为 $20 m$ 的旧墙 $M N$ ，小敏利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园 $A B C D$ ，已知木栏总长 $100 m$ ，矩形菜园 $A B C D$ 的面积为 $900 m^{2}$ .若设 $A D = x m$ ，则可列方程（）

A、 $(50 - \frac{x}{2}) x = 900$ B、 $(60 - x) x = 900$ C、 $(50 - x) x = 900$ D、 $(40 - x) x = 900$

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10. 如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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二、填空题

11. 计算： $| \sqrt{3} - 5 | + 2 \times \sqrt{\frac{3}{4}} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} + {(9 - \sqrt{3})}^{0} - \sqrt{16} =$ .

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12. 如图，AB∥CD∥EF，如果AC＝2，AE＝5，DF＝3.6，那么BD＝.

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13. 已知 $(x^{2} + y^{2}) (x^{2} + y^{2} - 2) = 3$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ .

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14. 如图所示， $∠ A O B$ 是放置在正方形网格中的一个角，则 $\sin ∠ A O B$ 的值是.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，E，F分别为 $A B$ 、 $B C$ 上的点，沿直线 $E F$ 将 $∠ B$ 折叠，使点B恰好落在 $A C$ 上的D处，当 $△ A D E$ 恰好为直角三角形时， $B E$ 的长为.

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三、解答题

16. 计算或解方程：

(1)、 $\sqrt{75} + 4 \sqrt{\frac{1}{8}} - (6 \sqrt{\frac{1}{3}} + 4 \sqrt{0.5})$

(2)、 $\sqrt{3} \tan 60 ° + \sqrt{2} \sin 45 ° - \cos 60 °$

(3)、 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$

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17. 先化简，再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a} \div (\frac{2 a b - b^{2}}{a} - a)$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3}$ ， $b = 2 - \sqrt{3}$ .

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18. 如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB＋∠EDC＝120°.

(1)、求证：△ABD∽△DCE；

(2)、若BD＝4，CE＝3，求△ABC的面积.

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m - 2 = 0$ .

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有两个实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} + 3 x_{1} x_{2} = 1$ ，求 $m$ 的值.

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20. 位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道 $M P$ 上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为 $22 °$ ，然后沿 $M P$ 方向前进 $16 m$ 到达点N处，测得点 $A$ 的仰角为 $45 °$ .测角仪的高度为 $1.6 m$ ，

(1)、求观星台最高点A距离地面的高度(结果精确到 $0.1 m$ .参考数据： $s i n 22 ° \approx 0.37 ， c o s 22 ° \approx 0. 93 ， t a n 22 ° \approx 0.40 ， \sqrt{2} \approx 1.41$ )；

(2)、“景点简介”显示，观星台的高度为 $12.6 m$ ，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议.

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21. 某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．

(1)、当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

(2)、当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金﹣各种费用）为275万元？

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22.

(1)、（基础巩固）
如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B.求证：AC²＝AD•AB.

(2)、（尝试应用）
如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A.若BF＝4，BE＝3，求AD的长.

(3)、（拓展提高）
如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝ $\frac{1}{2}$ ∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长.

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23. 如图，已知A，B两点的坐标分别为 $A (18 ， 0)$ ， $B (8 ， 6)$ ，点P，Q同时出发分别作匀速运动，其中点P从点A出发沿AO向终点O运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点O出发沿OB运动，速度为每秒2个单位长度，当这两个点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动，设P，Q运动时间为t秒.

(1)、求t的取值范围；

(2)、若以O，P，Q为顶点的三角形与 $△ A B O$ 相似，求此时t的值；

(3)、是否存在t，使得 $△ O P Q$ 为等腰三角形？若存在，请直接写出运动时间t；若不存在，请说明理由.

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