河南省洛阳市洛龙区2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 点 $(- 5 ， 7)$ 关于原点对称的点为（）

A、 $(- 5 ， - 7)$ B、 $y = 3 - x$ C、 $(5 ， 7)$ D、 $(- 5 ， 7)$

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2. 按照我国《生活垃圾管理条例》要求，到 $2025$ 年底，我国地级及以上城市要基本建成垃圾分类处理系统，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、厨余垃圾 $F o o d W a s t e$ B、可回收物 $R e c y c l a b l e$ C、有害垃圾 $H a z a r d o u s$ D、其他垃圾 $R e s i d u a l W a s t e$

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3. 若关于x的方程kx²﹣x＋3＝0有实数根，则k的取值范围是（）

A、k≤12 B、k≤ $\frac{1}{12}$ C、k≤12且k≠0 D、k≤ $\frac{1}{12}$ 且k≠0

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4. 函数y＝ax²﹣a与y＝ax﹣a（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，已知 $Δ A B C$ 和 $Δ A^{'} B^{'} C^{'}$ 关于点 $O$ 成中心对称，则下列结论错误的是（）

A、 $∠ A B C = ∠ A^{'} B^{'} C^{'}$ B、 $A C / / A^{'} C^{'}$ C、 $A B = A^{'} B^{'}$ D、 $O A = O B^{'}$

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6. 已知二次函数 $y = - x^{2} + 2 x + 4$ ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）

A、图象的开口向上 B、图象的顶点坐标是 $(1, 3)$ C、当 $x < 1$ 时，y随x的增大而增大 D、图象与x轴有唯一交点

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7. 如图，已知点 $A (2 ， 1)$ ， $B (0 ， 2)$ ，将线段 $A B$ 绕点 $M$ 逆时针旋转到 $A_{1} B_{1}$ ，点 $A$ 与 $A_{1}$ 是对应点，则点 $M$ 的坐标是（）

A、 $(0 ， - 2)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(0 ， 0)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

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8. 若关于x的一元二次方程ax²＋bx＋2＝0（a≠0）有一根为x＝2019，则一元二次方程a（x﹣1）²＋b（x﹣1）＝﹣2必有一根为（）

A、2017 B、2020 C、2019 D、2018

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9. 将 $Δ A B C$ 绕点B按逆时针方向旋转 $32 °$ 到 $Δ E B D$ 的位置，斜边 $A C$ 和 $D E$ 相交于点F，则 $∠ D F A$ 的度数等于（）

A、 $152 °$ B、 $158 °$ C、 $148 °$ D、 $120 °$

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10. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象的一部分如图所示，下列说法中：①abc＜0；②2a+b＝0；③当﹣1＜x＜3时，y＞0；④a﹣b+c＜0；⑤2c﹣3b＞0．其中正确结论的个数是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

11. 若方程 $(a^{2} - 1) x^{2} + a x - 1 = 0$ 的一个根为 $x = 1$ ，则 $a =$ .

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12. 一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.如果不及时控制，第三轮将又有人被传染.

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13. 已知二次函数

y = a x^{2} + b x + c

自变量x的部分取值和对应函数值y如表：

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$8$	$3$	$0$	$- 1$	$0$	$3$	$\dots$

则在实数范围内能使得 $y - 3 > 0$ 成立的x取值范围是.

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14. 如图， $A (- 2 ， 0)$ ， $B (0 ， - 4)$ ，线段 $A B$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 至 $A C$ ，则C点的坐标为.

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15. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + 4 x - 3$ 与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作 $C_{1}$ ，将 $C_{1}$ 向右平移得 $C_{2}$ ， $C_{2}$ 与x轴交于点B， $D ．$ 若直线 $y = x + m$ 与 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 共有3个不同的交点，则m的取值范围是

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ ；

(2)、 ${(x - 1)}^{2} + 5 (x - 1) - 14 = 0$ .

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17. 如图，在直角坐标系中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点， $Δ A B C$ 和 $Δ D E F$ 的顶点都在格点上，已知A点坐标为（-3，-2）结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

（ 1 ）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $B_{1}$ 的坐标；

（ 2 ）画出 $Δ D E F$ 绕点O按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 后所得到的 $Δ D_{1} E_{1} F_{1}$ ，并写出点 $D_{1}$ 的坐标；

（ 3 ）判断 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ 和 $Δ D_{1} E_{1} F_{1}$ 是否是关于某点成为中心对称的图形，若是，请直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.

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18. 阅读材料：
如果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，那么有： $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .这是一元二次方程根与系数的关系，我们利用它可以用来解题.

例： $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 6 x - 3 = 0$ 的两根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的值.

解 $∵ x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} + 6 x - 3 = 0$ 的两根

$∴ x_{1} + x_{2} = - 6$ ， $x_{1} x_{2} = - 3$

$∴ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(- 6)}^{2} - 2 \times (- 3) = 42$ .

请你根据以上解法解答下题：

(1)、已知：关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + m = 0$ .
①求证：无论m取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；

②若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是原方程的两个实数根，且满足 $x_{1} \cdot x_{2} \cdot (x_{1} + x_{2}) - 2 = x_{1} \cdot x_{2}$ ，求m的值.

(2)、设m、n是方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两个实数根，求 $m^{2} + 2 m + n$ 的值.

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19. 在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣ $\frac{1}{2}$ x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax²+bx(a≠0)经过点A ．

(1)、求线段AB的长；

(2)、如果抛物线y=ax²+bx经过线段AB上的另一点C ，且BC= $\sqrt{5}$ ，求这条抛物线的表达式；

(3)、如果抛物线y=ax²+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

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20. 某车间生产以甲、乙两种水果为原料的某种罐头，在一次进货中得知，花费 $1.8$ 万元购进的甲种水果与 $2.4$ 万元购进的乙种水果质量相同，乙种水果每千克比甲种水果多 $2$ 元.

(1)、求甲、乙两种水果的单价；

(2)、车间将水果制成罐头投入市场进行售卖，已知一听罐头需要甲乙水果各 $0.5$ 千克，而每听罐头的成本除了水果成本之外，其他所有成本是水果成本的 $\frac{5}{7}$ 还要多 $3$ 元.调查发现，以 $28$ 元的定价进行销售，每天只能卖出 $3000$ 听，超市对它进行促销，每降低 $1$ 元，平均每天可多卖出 $1000$ 听，当售价为多少元时，利润最大？最大利润为多少？

(3)、若想使得该种罐头的销售利润每天达到 $6$ 万元，并且保证降价的幅度不超过定价的 $15 %$ ，每听罐头的价钱应为多少钱？

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21. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 经过点 $A (1 ， 0)$ 和点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交于点C.

(1)、求此抛物线的解析式；

(2)、若点P是直线 $B C$ 下方的抛物线上一动点（不点B，C重合），过点P作y轴的平行线交直线 $B C$ 于点D，设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段 $P D$ 的长.

②连接 $P B$ ， $P C$ ，求 $Δ P B C$ 的面积最大时点P的坐标.

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22. 小云在学习过程中遇到一个函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)

.下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

(1)、当

- 2 \leq x < 0

时，对于函数

y_{1} = | x |

，即

y_{1} = - x

，当

- 2 \leq x < 0

时，

y_{1}

随x的增大而，且

y_{1} > 0

；对于函数

y_{2} = x^{2} - x + 1

，当

- 2 \leq x < 0

时，

y_{2}

随x的增大而，且

y_{2} > 0

；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当

- 2 \leq x < 0

时，y随x的增大而.

(2)、当

x \geq 0

时，对于函数y，当

x \geq 0

时，y与x的几组对应值如下表：

$x$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

综合上表，进一步探究发现，当 $x \geq 0$ 时，y随x的增大而增大.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出当 $x \geq 0$ 时的函数y的图象.

(3)、过点(0，m)（

m > 0

）作平行于x轴的直线l，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l与函数

y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x \geq - 2)

的图象有两个交点，则m的最大值是.

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23. 如图①，正方形 $A D E F$ 中， $∠ D A F = 90 °$ ，点B、C分别在边 $A D$ 、 $A F$ 上，且 $A B = A C$ ，此时显然 $B D = C F$ ， $B D ⊥ C F$ 成立.

(1)、如图②，当 $Δ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 时，那么 $B D = C F$ 和 $B D ⊥ C F$ 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(2)、如图③ $Δ A B C$ 绕点A逆时针旋转 $45 °$ ，延长 $D B$ 交 $C F$ 于点H；当 $A B = 2$ ， $A D = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ 时，则线段 $F H$ 的长为.

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