河南省安阳市林州市2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷（B）

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $x (x - 3) = 3 - x$ 的解是（　　　）

A、 $- 1$ B、3 C、 $- 1$ 和3 D、1和2

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2. 已知一元二次方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 有一个根为2，则另一根为（）

A、2 B、3 C、4 D、8

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3. 将抛物线 $y = - 2 x^{2} - 3$ 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（）

A、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} + 2$ B、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} - 2$ C、 $y = - 2 {(x + 2)}^{2} - 2$ D、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} - 5$

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4. 服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（　　）

A、150元 B、160元 C、170元 D、180元

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5. 已知抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} + k$ （ $a > 0$ ，a，k为常数）， $A (- 3 ， y_{1})$ ， $B (3 ， y_{2})$ ， $C (4 ， y_{3})$ 是抛物线上三点，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 由小到大依序排列是（　　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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6. 若点 $P (m - 1, 5)$ 与点 $Q (3, 2 - n)$ 关于原点成中心对称，则 $m + n$ 的值是（　　）

A、1 B、3 C、5 D、7

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7. 下列图形中，是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为 $(a ， b)$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- a ， - b)$ B、 $(- a ， - b - 1)$ C、 $(- a ， - b + 1)$ D、 $(- a ， - b + 2)$

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9.
如图，⊙O为△ABC的内切圆，AC=10，AB=8，BC=9，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，则△CDE的周长为（　　）

A、9 B、7 C、11 D、8

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10. 如图， $⊙ P$ 与x轴交于点 $A (- 5 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ，与 $y$ 轴的正半轴交于点 $C$ ．若 $∠ A C B = 60 °$ ，则点 $C$ 的纵坐标为（）

A、 $\sqrt{13} + \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2} + \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2} + 2$

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二、填空题

11. 当 $m =$ 时， $y = (m^{2} - 1) x^{m^{2} - m}$ 是二次函数.

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12. 某旅游景点三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程为

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13. 如图，A，B，P是半径为2的 $⊙ O$ 上的三点， $∠ A P B = 45 °$ ，则弦AB的长为.

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14. 已知扇形的弧长为 $10 π cm$ ，面积为 $30 π {cm}^{2}$ ，则扇形的圆心角为.

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15. 抛物线 $y = a x^{2} + b x$ 经过点 $A (4 ， 0)$ ，该抛物线顶点在直线 $y = - x + 4$ 上，则该抛物线解析式为.

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16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为 $\overset{⌢}{B B^{'}}$ ，则图中阴影部分的面积为.

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = 8$ ，以AC为腰，点A为顶点作等腰 $△ A C D$ ，且 $∠ D A C = 120^{\circ}$ ，则 $B D =$ .

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三、解答题

18. 解下列方程：

(1)、 $3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $2 {(x - 3)}^{2} = x^{2} - 9$

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19. 已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 2) x + (2 m - 1) = 0$ .

(1)、求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若此方程的一个根是1，请求出m的值及方程的另一个根，并求以此两根作为两边的等腰三角形（不是等边三角形）的周长.

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20. 如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度AB=60米，拱高PD=18米．

(1)、求圆弧所在的圆的半径r的长；

(2)、当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PE=4米时，是否要采取紧急措施？

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21. 如图所示，AB为半圆O的直径，C为圆上一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DE⊥AC，DE交AC的延长线于点E．

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为2，DE= $\sqrt{3}$ ，求线段AC的长

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22. 某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如下表：

销售单价x（元）	85	95	105	115
日销售量y（个）	175	125	75	m
日销售利润w（元）	875	1875	1875	875

（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））

(1)、求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；

(2)、根据以上信息，填空：

该产品的成本单价是元，当销售单价x=元时，日销售利润w最大，最大值是元；

(3)、公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？

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23. 小强根据学习函数的经验，对函数

y = \frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1}

；图象与性质进行了探究，下面是小强的探究过程，请补充完整，并解决相关问题：

(1)、函数

y = \frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1}

；的自变量x的取值范围是；

(2)、如表是y与x的几组对应值.

x	$...$	$- 2$	m	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	4	$...$
y	$...$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{16}{3}$	2	$\frac{16}{5}$	4	$\frac{16}{5}$	2	$\frac{16}{13}$	$\frac{4}{5}$	n	$...$

表中m的值为， n的值为；

(3)、如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数

y = \frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1}

的大致图象；

(4)、结合函数图象，请写出函数

y = \frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1}

的一条性质：.

(5)、解决问题：如果方程

\frac{4}{{(x - 1)}^{2} + 1} = 2 a - 1

的实数根有2个，那么a的取值范围是.

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24. 已知 $∠ A C D = 90 °$ ， $A C = D C$ ， $M N$ 是过点A的直线，过点D作 $D B ⊥ M N$ 于B，连接 $C B$ .

(1)、问题发现：如图①，过点C作 $C E ⊥ C B$ ，与 $M N$ 交于点E，则容易发现 $B D$ 与 $E A$ 之间的数量关系为， $B D$ ， $A B$ ， $C B$ 之间的数量关系为.

(2)、拓展探究：当 $M N$ 绕点A旋转到如图②的位置时，试猜想线段 $B D$ ， $A B$ ， $C B$ 之间的数量关系，并证明；

(3)、解决问题：当 $M N$ 绕点A旋转到如图③的位置时（点C，D在直线 $M N$ 的两侧），若此时 $∠ B C D = 30 °$ ， $B D = 2$ ，则 $C B =$ .

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 3$ 与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)、求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；

(2)、P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

(3)、点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由.

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