黑龙江省哈尔滨市松北区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：期末考试

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一、单选题

1. -2021的倒数是（）

A、2021 B、 $\frac{1}{2021}$ C、 $- 2021$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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2. 下列代数式的运算，一定正确的是（）

A、 $3 a^{2} - a^{2} = 2$ B、 ${(3 a)}^{2} = 9 a^{2}$ C、 ${(a^{3})}^{4} = a^{7}$ D、 $a^{2} + b^{2} = (a + b) (a - b)$

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3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 将抛物线 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 4$ 向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到抛物线的解析式为（）

A、 $y = - 2 {(x + 4)}^{2} + 1$ B、 $y = - 2 {(x - 2)}^{2} + 1$ C、 $y = - 2 {(x - 4)}^{2} + 6$ D、 $y = - 2 {(x - 4)}^{2} + 2$

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6. 在反比例函数 $y = \frac{k - 3}{x}$ 图象在第一、三象限上，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 3$ B、 $k \leq 3$ C、 $k > 3$ D、 $k \geq 3$

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7. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ，$ 将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到的 $△ A B^{'} C^{'}$ （点 $B$ 的对应点是点 $B^{'}$ ，点 $C$ 的对应点是点 $C^{'}$ ），连接 $C C^{'}$ ﹒若 $∠ C C^{'} B^{'} = 33 °$ ，则 $∠ B$ 的大小是（）

A、 $22^{\circ}$ B、 $33^{\circ}$ C、 $75^{\circ}$ D、 $78^{\circ}$

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8. 如图， $P A 、 P B$ 分别与 $О$ 相切于 $A 、 B$ 两点，点 $C$ 为 $О$ 上一点，连接 $A C$ 、 $B C ，$ 若 $∠ P = 50^{\circ}$ ，则 $∠ A C B$ 的度数为（）

A、 $115^{\circ}$ B、 $130^{\circ}$ C、 $65^{\circ}$ D、 $75^{\circ}$

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9. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（）．

A、20% B、40% C、18% D、36%

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10.
如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）

A、 $\frac{E A}{B E} = \frac{E G}{E F}$ B、 $\frac{E G}{G H} = \frac{A G}{G D}$ C、 $\frac{A B}{A E} = \frac{B C}{C F}$ D、 $\frac{F H}{E H} = \frac{C F}{A D}$

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二、填空题

11. 将 $2021000$ 用科学记数法表示为．

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12. 函数 $y = \frac{x - 3}{3 x - 2}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是.

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13. 把多项式 $m x^{2} - 4 m x y + 4 m y^{2}$ 分解因式的结果是．

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14. 计算： $\sqrt{32} - 4 \sqrt{\frac{1}{2}}$ 的结果是

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15. 不等式组 ${\begin{array}{l} 2 - 3 x \leq 5 ， \\ 3 x - 2 < 4 ， \end{array}$ 的解集是．

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16. 抛物线 $y = - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{2}{3} x + 1$ 与 $x$ 轴交于点 $A 、 B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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17. 一个不透明的袋子中装 $8$ 个小球，其中 $3$ 个红球， $3$ 个白球， $2$ 个黑球，小球出颜色外形状、大小完全相同．现从中随机摸出一个小球，摸出的小球是红色的概率为．

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18. 已知扇形的弧长为 $4 π$ ，半径为 $9$ ，则此扇形的圆心角为度．

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19. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 2 \sqrt{7}$ ， $∠ B = 30^{°}$ ，则 $B C$ 的长等于

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C ，$ 点 $D$ 在 $B C$ 上，连接 $A D ， B E ⊥ A D$ 于点 $E$ ，连接 $C E ， ∠ D E C = ∠ B A C$ ，若 $\frac{C E}{A E} = \frac{4}{7}$ ，则 $t a n ∠ B A E$ 的值为．

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三、解答题

21. 先化简，再求值： $\frac{a}{a^{2} - 1} \div (1 - \frac{1}{a + 1})$ ，其中 $a = \sqrt{2} s i n 45 ° + 2 t a n 60 °$ ．

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22. 如图，在每个小正方形的边长均为 $1$ 的方格纸中，其中端点 $A ， B$ 均在小正方形的顶点上．

(1)、在图中画出平行四边形 $A B C D$ ，点 $C$ 和点 $D$ 均在小正方形的顶点上，且平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $12$ ；

(2)、在图中画出以 $A B$ 为腰的等腰直角 $△ A B E$ ，且点 $E$ 在小正方形的顶点上；

(3)、连接 $D E$ ，直接写出 $D E$ 的长．

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23. 哈市某中学九年四班就本班同学的升学志愿进行了一次调查统计，通过采集数据后，绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)、求出该班的总人数；

(2)、通过计算请把条形统计图补充完整；

(3)、如果小马所在年级共有 $760$ 名学生，请你估计该年级报考普高的学生有多少人．

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24. 在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $О$ ，且 $A C$ 垂直平分 $B D ， B D$ 平分 $∠ A D C$ ．

(1)、如图1，求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B E / / A C$ ，交 $D C$ 延长线于点 $E$ ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与 $Δ C B E$ 面积相等的三角形（ $Δ C B E$ 除外）

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25. 哈尔滨市松北新区某中学去年购买了一批图书，其中 $A$ 类书的单价比 $B$ 类书的单价多 $4$ 元，用 $1200$ 元购买的 $A$ 类书与用 $800$ 元购买的 $B$ 类书数量相等．

(1)、求去年购买的 $B$ 类书和 $A$ 类书的单价各是多少元？

(2)、若今年 $B$ 类书的单价比去年提高了 $25 %$ ， $A$ 类书的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买 $A$ 类书和 $B$ 类书共 $200$ 本，且购买 $A$ 类书和 $B$ 类书的总费用不超过 $2300$ 元，这所中学今年至少要购买多少本B类书？

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26. 已知：如图， $⊙ O$ 内两条弦 $A B 、 C D ，$ 且 $A B ⊥ C D$ 于 $E ， O A$ 为 $⊙ O$ 半径，连接 $A C 、 B D$ ．

(1)、求证： $∠ O A C = ∠ B C D$ ；

(2)、作 $E N ⊥ B D$ 于 $N$ ，延长 $N E$ 交 $A C$ 于点 $H$ ．求证： $A H = C H$ ；

(3)、在（2）的条件下，作 $∠ E H F = 60 °$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，点 $P$ 在 $F E$ 上，连接 $P C$ 交 $H N$ 于点 $L$ ，当 $E L = H F = 2 \sqrt{7}$ ， $C L = 8 ， B E = 2 P F$ 时，求 $⊙ O$ 的半径．

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27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 交 $x$ 轴负半轴于点 $A 、 B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左边），交 $y$ 轴于点 $C ， O A = O C = 4$ ．

(1)、求抛物线解析式；

(2)、点 $Р$ 为对称轴右 $x$ 轴下方的侧抛物线上一点，射线 $A P$ 关于 $x$ 轴对称图形（射线 $A Q$ ）交抛物线于点 $Q$ ，若点 $Р$ 的横坐标为 $t$ ，点 $Q$ 的横坐标为 $d$ ，求 $d$ 与 $t$ 的函数关系式；

(3)、在（2）的条件下，射线 $B Q 、 A P$ 分别交抛物线对称轴于点 $D 、 E$ ，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的平行线 $Q F$ ，在对称轴左侧作 $∠ D E F$ 交 $Q F$ 于点 $F ， ∠ D E F = 2 ∠ B D E$ ， $Q F + E F = \frac{9}{2}$ ，连接 $D F$ ，求 $∠ Q D F$ 的度数．

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