湖南省长郡十五校2020-2021学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集 $U = {x \in N | x \leq 11}$ ，集合 $A = {0 ， 4 ， 6 ， 8 ， 9 ， 10}$ ， $B = {x | 3 < x < 15}$ ，则 $(∁_{U} A) \cap B$ 中元素的个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = 5$ ，则它的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知 $a ， b$ 都是实数，则“ $\ln \frac{1}{a} < ln \frac{1}{b}$ ”是“ $a^{2} > b^{2}$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 复兴号动车组列车是中国标准动车组的中文名称，是由中国铁路总公司牵头组织研制､具有完全自主知识产权､达到世界先进水平的动车组列车.2019年12月30日，CR400BF-C智能复兴号动车组在京张高铁实现时速350km自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小.我们用声强I(单位： W/m²)表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关系式为L=10lg(aI)，已知I=10¹³W/m²时，L=10dB.若要将某列车的声强级降低30dB，则该列车的声强应变为原声强的（）

A、10^-5 B、10^-4 C、10^-3 D、10^-2

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5. 在平面四边形 $A B C D$ 中， $| \vec{A B} | = 2 ， | \vec{A D} | = \sqrt{3} ， \vec{A C} = 2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$ ，若 $\vec{B D} ⊥ \vec{A C}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A D}$ 夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

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6. 若多项式 $x^{2} + x^{10} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9} + a_{10} {(x + 1)}^{10}$ ，则 $a_{3} =$ （）

A、56 B、-120 C、-56 D、120

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7. 新型冠状病毒肺炎（COVID－19）疫情爆发以来，中国人民万众一心，取得了抗疫斗争的初步胜利.面对秋冬季新冠肺炎疫情反弹风险，某地防疫防控部门决定进行全面入户排查，过程中排查到一户5口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该5名成员逐一进行核酸检测.若任一成员出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性相互独立，且概率均为p(0＜p＜1).该家庭至少检测了4人才能确定为“感染高危户”的概率为f(p)，当p＝p₀时，f(p)最大，此时p₀＝（）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $1 - \frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{5}}{5}$

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8. 已知 $A (2 ， 2) ， B ， C$ 是拋物线 $y^{2} = 2 p x$ 上的三点，如果直线 $A B ， A C$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 3$ 截得的两段弦长都等于 $2 \sqrt{2}$ ，则直线 $B C$ 的方程为（）

A、 $x + 2 y + 1 = 0$ B、 $3 x + 6 y + 4 = 0$ C、 $2 x + 6 y + 3 = 0$ D、 $x + 3 y + 2 = 0$

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二、多选题

9. 今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示，中国每周大概增加1万多个5G基站，4月份增加5G用户700多万人，5G通信将成为社会发展的关键动力，图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图，阅读图

关于下列说法，其中正确的是（）

A、2022年我国5G用户规模年增长率最高 B、2025年我国5G用户数规模最大 C、从2020年到2026年，我国的5G用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降 D、这十年我国的5G用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差

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10. 已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的解析式可以表示为 $f (x) = 2 cos (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{5 π}{12}$ 对称 C、该图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位可得 $y = 2 sin 2 x$ 的图象 D、函数 $y = f (x)$ 在 $[- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6}]$ 单调递减

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11. 在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.设第 $n$ 月月底小王手中有现款为 $a_{n}$ ，则下列论述正确的有（）(参考数据： ${1.2}^{11} = 7.5 ， {1.2}^{12} = 9$ )

A、 $a_{1} = 12000$ B、 $a_{n + 1} = 1.2 a_{n} - 1000$ C、2020年小王的年利润为40000元 D、两年后，小王手中现款达41万

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12. 函数 $f (x)$ 为定义在R上的偶函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x) = f (x) cos x$ 为奇函数 B、函数 $h (x) = x [f (x) - f (2)]$ 有且只有3个零点 C、不等式 $x [f (x) - f (2)] \leq 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， 2]$ D、 $f (x)$ 的解析式可能为 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - x^{2}$

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三、填空题

13. 4名同学到A､B､C三个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，且同学甲安排在A小区，则共有种不同的安排方案.

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14. 写出一个最大值为3，最小正周期为2的偶函数 $f (x) =$ .

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15. 已知点 $A (- \sqrt{5} ， 0)$ 、 $B (\sqrt{5} ， 0)$ 、 $C (- 1 ， 0)$ 、 $D (1 ， 0)$ 、 $P (x ， y)$ ，如果直线 $P A$ 、 $P B$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ ，记 $∠ P C D = α$ ， $∠ P D C = β$ ，则 $\frac{sin α + sin β}{sin (α + β)} =$ .

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C ， A B ⊥ B C ， P A = A B = 1 ， A C = \sqrt{2}$ ，三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为；若点 $M ， N$ 分别是 $△ A B C$ 与 $△ P A C$ 的重心，直线 $M N$ 与球 $O$ 表面相交于 $D ， E$ 两点，则线段 $D E$ 长度为.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且满足 $(a + c) (sin A - sin C) = b (sin A - sin B) .$

(1)、求角C；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $b = 4$ ，求 $△ A B C$ 面积的取值范围.

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18. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 的等比中项是 $\sqrt{2 S_{n}}$ .

(1)、证明 $： {a_{n + 2} - a_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求使得 $T_{n} < \frac{n}{2^{n}}$ 的 $n$ 的取值范围.

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19. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ²），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：

(1)、根据频率分布直方图，求样本平均数 $\bar{x}$

(2)、根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

(3)、假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．

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20. 在多面体 $A B C D E$ 中，平面 $A C D E ⊥$ 平面 $A B C$ ，四边形 $A C D E$ 为直角梯形， $C D / / A E$ ， $A C ⊥ A E$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C D = 1$ ， $A E = A C = 2$ ， $F$ 为 $D E$ 的中点，且点 $E$ 满足 $\overset{⇀}{E B} = 4 \overset{⇀}{E G}$ .

(1)、证明： $G F / /$ 平面 $A B C$ .

(2)、当多面体 $A B C D E$ 的体积最大时，求二面角 $A - B E - D$ 的余弦值.

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21. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的离心率为2，点 $A$ 为 $C$ 上位于第二象限的动点，

(1)、若点 $A$ 的坐标为(-2，3 $)$ ，求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $B ， F$ 分别为双曲线 $C$ 的右顶点､左焦点，是否存在常数 $λ$ ，使得 $∠ A F B = λ ∠ A B F .$ 如果存在，请求出 $λ$ 的值；如果不存在，请说明理由.

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22. 已知曲线 $f (x) = e^{m x} - 2 (a + 1) x + \frac{3}{2} (a \in R)$ 在 $x = 0$ 处的切线斜率为 $- 2 a - 1$ .

(1)、确定 $m$ 的值，并讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x ⩾ 0$ 时， $f (x) ⩾ \frac{1}{2} x^{2} + 2 {(a + 1)}^{2}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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