湖南省联合体2020-2021学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x - 1 < 0} ， B = {x | x^{2} - 2 x - 8 ⩾ 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | - 2 < x < 1}$ B、 ${x | - 4 < x < 1}$ C、 ${x | x ⩽ - 2}$ D、 ${x | x ⩽ - 4}$

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2. 棱长为2的正四面体的表面积是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 2 ， x > 0 ， \\ x^{2} + 1 ， x ⩽ 0 ， \end{array}$ ，若 $f (a) = 2$ ，则 $a =$ （）

A、2 B、1 C、2或-1 D、1或-1

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4. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{12}{37}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5. 已知 $a > b > c$ ，下列不等式不一定成立的是（）

A、 $a c + b^{2} < a b + b c$ B、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ C、 $a b + c^{2} > a c + b c$ D、 $b^{2} > a c$

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6. 在平行四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AB的中点，直线AE与直线DF交于点P，则 $\frac{| A P |}{| P E |} =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和分别为 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{6 n + 38}{n + 1}$ ，则使得 $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ 为整数的正整数k的个数是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且对任意实数x都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 设函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x + \sin x}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x + 1)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (x) > 0$ D、 $f (x) < \frac{1}{2}$

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二、多选题

10. 下列函数中是奇函数，且值域为 $R$ 的有（）

A、 $f (x) = x^{3}$ B、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ C、 $f (x) = x + \sin x$ D、 $f (x) = x^{- 5}$

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11. 设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} + m$ ，则（）

A、 $m = - 1$ B、 ${a_{n}}$ 是等差数列 C、 $a_{n} = 3^{n - 1}$ D、 $S_{n} = \frac{3^{n} - 1}{2}$

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E在棱 $D D_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1} ， F$ 是线段 $B B_{1}$ 上一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $E F ⊥ A C$ B、存在一点F使得 $A E / / C_{1} F$ C、三棱锥 $D_{1} - A E F$ 的体积与点F的位置无关 D、直线 $A A_{1}$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值的最小值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 3) ， \vec{b} = (1 ， - 2)$ ，且 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ ．

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14. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，四边形 $A B B_{1} A_{1}$ 是正方形，且 $A B = B C$ ，E在棱 $A A_{1}$ 上，且 $A E = 3 A_{1} E$ ，则异面直线 $A C_{1}$ 与BE所成角的余弦值为．

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15. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $a b + 2 a + b$ 的最小值是．

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16. 已知函数 $f (x) = | 4^{x} - 3 | + 2$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 m f (x) + m^{2} - 1$ 有4个零点，则m的取值范围是．

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四、解答题

17. 在递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ ， $a_{2} + a_{4} = 30$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{3} a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在① $c (\cos A + \sin A) = b$ ，② $c \sin B + b \cos C = \sqrt{2} b$ ，③ $\sin B + \tan C \cos B = \sqrt{2} \sin A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\cos B = \frac{3}{5}$ ， $△ A B C$ 的面积是56，且 ▲ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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19. 随着社会经济的发展，人们生活水平的不断提高，越来越多的人选择投资“黄金”作为理财手段．下面随机抽取了100名把黄金作为理财产品的投资人，根据他们的年龄情况分为 $[20 ， 30) ， [30 ， 40) ， [40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70]$ 五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、估计把黄金作为理财产品的投资人年龄的中位数；（结果保留整数）

(2)、为了进一步了解该100名投资人投资黄金的具体额度情况，按照分层抽样的方法从年龄在 $[40 ， 50)$ 和 $[60 ， 70)$ 的投资人中随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取3人进行调查，X表示这3人中年龄在 $[40 ， 50)$ 的人数，求X的分布列及数学期望．

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $B D = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折到 $△ P A C$ 的位置使得 $P D = 4$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 在椭圆C上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若椭圆C上存在A，B两点关于直线 $x = m y + 1$ 对称，求m的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x^{2} - 2 x$ 的图象在点 $(0 ， 1)$ 处的切线方程为 $y = 1$ .

(1)、证明： $f (x) + x^{2} \geq 1$ .

(2)、若 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的极值点，且 $x_{0} < 0$ .若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{2} < x_{1} < 0$ .证明： $\ln (x_{1} + x_{2} + 2) > \ln 2 + 2 x_{0}$ .

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