湖北省恩施州2020-2021学年高三上学期数学第一次教学质量监测考试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 1 < x \leq 2}$ ， $B = {x \in Z | x^{2} - x - 6 < 0}$ .则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ B、 ${x | - 2 < x < 3}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 若 $\bar{z} (1 + i) = 1 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$ D、 $- \frac{3}{2} + \frac{1}{2} i$

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3. “养国子以道乃教之六艺”出自《周礼·保氏》，其中六艺是指礼､乐､射､御､书、数，是中国周朝时期贵族教育体系中要求学生所必需掌握的六种基本才能，而一般商贾之家，因受当时的生产力经济等各方面条件制约，在教育方面只能为孩童挑选部分才能进行培养.已知某商贾觉得“君子不学礼无以立”，而其两个孩童对“数”均有浓厚兴趣，商贾依据自己的能力，只能为每个孩童择四艺进行培养若令商贾和两个孩童都满意，其余二艺随机选取，那么两个孩童至少有一个选到“御”的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{4}{5}$

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4. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{C D} = 7 \vec{E D}$ ，且 $\vec{B E} = λ \vec{A D} + μ \vec{D E}$ .则 $λ + μ =$ （）

A、-5 B、-6 C、5 D、6

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5. 如图，某柱桩的底座由一个正六棱柱中间挖掉一个圆柱构成.已知该正六棱柱每个侧面是边长为 $30 cm$ 的正方形，所挖掉的圆柱的底面半径为 $10 cm$ .为了延长底座的使用时长，需将底座地面之上的部分（除与地面直接接触的底面之外的表面）涂上防氧化层，则涂层的总面积为（）

A、 $(2700 \sqrt{3} + 5400 + 500 π) {cm}^{2}$ B、 $(2700 \sqrt{3} + 5400 + 400 π) {cm}^{2}$ C、 $(1350 \sqrt{3} + 5400 + 500 π) {cm}^{2}$ D、 $(1350 \sqrt{3} + 5400 + 400 π) {cm}^{2}$

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6. 若抛物线 $x^{2} = 8 y$ 上一点M到该抛物线焦点F的距离为6，过点M作x轴的垂线，垂足为N，设O为坐标原点，则四边形OFMN的面积为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、16 D、 $16 \sqrt{2}$

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7. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C满足 $A + C = 2 B$ ，则函数 $f (x) = 2sin (x + B) cos x - sin2 x$ 图象的对称轴方程是（）

A、 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} ， k \in Z$ B、 $x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} ， k \in Z$ C、 $x = \frac{5π}{12} + \frac{k π}{2} ， k \in Z$ D、 $x = \frac{π}{6} + \frac{k π}{2} ， k \in Z$

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8. 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 $H (t)$ 与传染源感染后至隔离前时长t（单位：天）的模型： $H (t) = e^{k t}^{+ λ}$ .已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20.若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（）

A、44 B、48 C、80 D、125

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二、多选题

9. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{25}{x - 1}$ 的值可以为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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10. 为了解人们对环保知识的认知情况，某调查机构对A地区随机选取n个居民进行了环保知识问卷调查（满分为100分），并根据问卷成绩（不低于60分记为及格）绘制成如图所示的频率分布直方图（分为 $[40 ， 50) ， [50 ， 60) ， [60 ， 70) ， [70 ， 80) ， [80 ， 90) ， [90 ， 100]$ 六组），若问卷成绩最后三组频数之和为360，则（）

A、 $n = 480$ B、问卷成绩在 $[70 ， 80)$ 内的频率为0.3 C、 $a = 0.030$ D、以样本估计总体，若对A地区5000人进行问卷调查，则约有1250人不及格

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11. 函数 $f (x)$ 为定义在R上的偶函数，且在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，则下列结论正确的是（）

A、函数 $g (x) = f (x) cos x$ 为奇函数 B、函数 $h (x) = x [f (x) - f (2)]$ 有且只有3个零点 C、不等式 $x [f (x) - f (2)] \leq 0$ 的解集为 $(- \infty ， - 2] \cup [0 ， 2]$ D、 $f (x)$ 的解析式可能为 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - x^{2}$

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12. 已知双曲线C的方程为 $\frac{x^{2}}{m + 4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ ，则（）

A、m的取值范围是 $(- 4 ， 0)$ B、C的焦距与m的取值无关 C、当C的离心率不小于2时，m的最小值为 $- 3$ D、存在实数m，使得点 $(m^{2} ， m)$ 在C上

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三、填空题

13. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} = 37 ， S_{3} = 50$ ，则 ${a_{n}}$ 的公差 $d =$ .

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14. 若直线l过点 $(- 2 ， 0)$ ，且倾斜角为 $\frac{π}{4}$ ，则l被圆C： ${(x + 3)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 所截得的弦长为.

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15. 若函数 $f (x) = {log}_{9} (x + 2) - {log}_{9} x (x > \frac{1}{4})$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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16. 已知底面为矩形的四棱锥 $P - A B C D$ 的每个顶点都在球O的球面上， $P A ⊥ A D$ ， $P A = A B$ ， $P B = \sqrt{2} A B$ ，且 $B C = 2 \sqrt{2}$ .若球O的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，则棱 $P B$ 的中点到平面 $P C D$ 的距离为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分別为a，b，c.已知 $cos2 C = 2cos (A + B) - \frac{3}{2}$ .

(1)、求C；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为15，且a，b，c成等差数列，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：

猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)	$(0 ， 40]$	$(40 ， 50]$	$(50 ， 60]$
$(0 ， 3000]$	6	15	0
$(3000 ， 4000]$	2	27	5
$(4000 ， 5000]$	9	45	16
$(5000 ， 6000]$	0	16	19

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.005
k	3.841	6.635	7.879
猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)	$(0 ， 50]$	$(50 ， 60]$	合计
$(0 ， 4000]$
$(4000 ， 6000]$
合计

(1)、估计全国各地猪肉价格在

(50 ， 60]

(元/千克)内的概率；

(2)、估计这160个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；

(3)、根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.

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19. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q.

(1)、试问数列 ${a_{n} + a_{n}_{+ 1}}$ 一定是等比数列吗？说明你的理由.

(2)、在① $q = - 3$ ，② $a_{4} a_{5} = 9 a_{6}$ ，③ $a_{1} a_{2} a_{3} = 27$ 这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中并解答.
问题：若 ▲ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式及数列 ${{(- 1)}^{n} n + 4 a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

注：如果选择多种情况解答，则按第一种情况计分.

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20. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = 90 °$ ， $A B // C D$ ， $A D = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{3} C D = 2$ ，E为 $A B$ 的中点，F在线段 $C D$ 上，且 $E F // A D$ .将四边形 $D A E F$ 沿 $E F$ 折起，使得到的四边形 $D^{'} A^{'} E F$ 所在平面与平面 $B C F E$ 垂直，M为 $D^{'} C$ 的中点.连 $B D^{'}$ ， $B A^{'}$ ， $B M$ .

(1)、证明： $C F ⊥ B M$ .

(2)、求平面 $A^{'} D^{'} F E$ 与平面 $D^{'} B C$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x}{e}$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 存在一条切线与直线 $y = a x$ 垂直，求a的取值范围；

(2)、证明： $f (x) < x^{2} - ln x - \frac{3}{4} sin x$ .

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，Q为C的上顶点，且满足 $\vec{F_{1} Q} \cdot \vec{F_{2} Q} = - 8$ .

(1)、求C的方程.

(2)、若P为直线 $x = 8$ 上的动点，A，B分别为C的左､右顶点，PA与C的另一个交点为M，PB与C的另一个交点为N，是否存在定点G使得直线MN恒过该定点G？若存在，求G的坐标；若不存在，说明理由.

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