湖北省2020-2021学年高三上学期数学11月阶段性测试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 3 ， a^{2}}$ ， $B = {1 ， a + 2}$ ，若 $A \cap B = B$ ，则实数 $a$ 的取值为（）

A、1 B、-1或2 C、2 D、-1或1

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2. 若复数 $z$ 满足 $z (i - 1) = 2 i$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $z$ 为实数 C、 $| z | = \sqrt{2}$ D、 $z + \bar{z} = 2 i$

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3. 下列命题为真命题的是（）

A、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $c > a > b > 0$ ，则 $\frac{a}{c - a} < \frac{b}{c - b}$ D、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{a}{b} > \frac{a + c}{b + c}$

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4. 设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f^{'} (x)$ ，若 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{2}) \cdot \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A = 30 °, a = \sqrt{2}, c = 2$ ，则 $b$ =（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $\sqrt{3} + 1$ 或 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$

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6. 已知 $\cos (x - \frac{π}{4}) = - \frac{3}{5}$ ， $\frac{17 π}{12} < x < \frac{7 π}{4}$ ，则 $\frac{\sin 2 x - 2 \sin^{2} x}{1 + \tan x}$ 的值为（）

A、 $\frac{28}{75}$ B、 $- \frac{21}{100}$ C、 $- \frac{28}{75}$ D、 $\frac{21}{100}$

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7. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - x$ ， $g (x) = \log_{\frac{1}{4}} x - x$ ， $h (x) = x^{3} - x (x > 0)$ 的零点分别为a，b，c ，则a，b，c的大小顺序为（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $b > a > c$

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8. 已知关于 $x$ 方程 $e^{x} (2 x - 1) + m (x - 1) = 0$ 有两个不等实根，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4 e^{\frac{3}{2}} ， - 1) \cup (- 1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 4 e^{\frac{3}{2}}]$ C、 $(- 4 e^{\frac{3}{2}} ， - 1) \cup (- 1 ， 0)$ D、 $(- \infty ， - 4 e^{\frac{3}{2}}) \cup (- 1 ， 0)$

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二、多选题

9. 若“ $\exists x \in M, | x | \leq - x$ ”为假命题，“ $\forall x \in M, x \leq 3$ ”为真命题，则集合 $M$ 可以是（）

A、 ${x | 0 < x \leq 3}$ B、 ${x | 1 < x < 2}$ C、 ${x | x \leq 3}$ D、 ${x | x > 0}$

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10. 函数 $f (x) = A \sin (ω x + ϕ) (A > 0 ， ω > 0 ， | ϕ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（）

A、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位得到函数 $g (x) = \sin (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象 B、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{k π}{2} - \frac{π}{6} ， 0) ， k \in z$ 对称 C、函数 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[k π - \frac{5 π}{12} ， k π + \frac{π}{12}] ， k \in z$ D、直线 $x = - \frac{2}{3} π$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴

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11. 已知函数 $f (x) = a \cdot {(\frac{1}{2})}^{| x |} - b$ 的图象过原点，且无限接近直线 $y = - 2$ 但又不与该直线相交，则（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[0 ， + \infty)$ C、函数 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty ， 0]$ D、函数 $f (x)$ 有唯一零点

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12. 已知函数 $f (x) = - x^{3} + 2 x^{2} - x$ ，若过点 $P (1, t)$ 可作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $t$ 的取值可以是（）

A、0 B、 $\frac{1}{27}$ C、 $\frac{1}{28}$ D、 $\frac{1}{29}$

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三、填空题

13. 已知角 $α$ 的终边上一点 $A (\sqrt{3} ， - 1)$ ，则 $\tan (π + α) =$ .

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{3})}^{x} ， x \geq 2 \\ f (x + 1) ， x < 2 \end{array} ，$ 则 $f (2 - \log_{3} 2)$ 的值为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{2} + a x - 2 (a \in R)$ ，若 $\exists x \in (1, 4)$ ，使得 $f (x) \leq 0$ ，则 $a$ 的取值范围是.

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16. 已知正实数满足 $9 x^{2} + y^{2} = 1 + 3 x y$ ，则当 $x =$ 时， $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} + \frac{1}{x y}$ 取得最小值是.

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四、解答题

17. 在① $b = 2$ ；② $c = 2 \sqrt{3}$ ；③ $a^{2} + c^{2} - \sqrt{3} a c = b^{2}$ 这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，求 $∠ B C D$ 的大小和 $△ A C D$ 的面积.
问题：已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ， $a = 2$ ，设 $D$ 为边 $A B$ 上一点， $B D = \sqrt{2} C D$ ， ▲ .

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.

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18. 设集合 $A = {x | x^{2} + 2 x - 8 < 0}, B = {x | x^{2} - 4 a x + 3 a^{2} = 0}$

(1)、若 $x \in A$ 是 $x \in B$ 的必要条件，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使 $A \cap B \neq φ$ 成立？若存在，求出实数 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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19. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{2^{x} + b}{2^{x + 1} + a}$ 是奇函数.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并说明理由；

(3)、若对于任意 $t \in R$ ，不等式 $f (2 t - t^{2}) + f (2 t^{2} - k) > 0$ 成立，求 $k$ 的取值范围.

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20. 已知定义域为 $[- \frac{π}{2} ， 0]$ 的函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x - 2 \cos^{2} x + m$ 的最大值为2.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、求使 $f (x) \leq 0$ 成立的 $x$ 的取值集合.

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21. 宜城市流水镇是全国闻名的西瓜基地，流水西瓜含糖量高，口感好，多次入选全国农博会并获金奖，畅销全国12省百余个大中城市.实践证明西瓜的产量和品质与施肥关系极大，现研究发现该镇礼品瓜“金皇后”的每亩产量 $L$ （单位：百斤）与施用肥料 $x$ （单位：百斤）满足如下关系： $L (x) = {\begin{array}{l} 8 (x^{2} + 2), 0 < x \leq \frac{3}{2} \\ \frac{60 x}{1 + x}, \frac{3}{2} < x \leq 3 \end{array}$ ，肥料成本投入为 $5 x$ （单位：百元），其它成本投入为 $10 x$ （单位：百元）.已知“金皇后”的市场批发价为2元/斤，且销路畅通供不应求，记每亩“金皇后”的利润为 $f (x)$ （单位：百元）.

(1)、求 $f (x)$ 的函数关系式；

(2)、当施用肥料为多少斤时，每亩“金皇后”的利润最大，最大利润是多少元？
（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）.

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{2 x} - (a + 2) e^{x} + x$

(1)、若 $a > 0$ ，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若存在正实数 $x_{0}$ ，使得 $f (x_{0}) = - e$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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