湖北山东部分重点中学2020-2021学年高三上学期数学12月教学质量联合检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in R | y = \sqrt{- x^{2} + 2 x + 3}}$ ， $N = {x \in Z | - 2 < x < 2}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $[- 1 ， 2)$ B、 $(2 ， 3]$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

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2. 已知直线 $l_{1}$ ： $t x + 2 y - 3 = 0$ ， $l_{2}$ ： $(t - 1) x + t y + 3 = 0$ ，则“ $t^{2} + 2 t + 1 = 0$ ”是“ $l_{1} ⊥ l_{2}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线的斜率之积等于-4，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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4. 下列关于 $x$ ， $y$ 的关系中为函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{3 - x}$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y = {\begin{array}{l} x ， x \geq 1 \\ 1 - 2 x ， x \leq 1 \end{array}$ D、

$x$

1

2

3

4

$y$

0

0

-6

11

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5. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{1.1}$ ， $b = \log_{4} 2$ ， $c = \log_{7} 3$ ，则a、b、c的大小关系为（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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6. 在 $△ A B C$ 中，已知 $B C = 2$ ， $| \vec{A C} + \vec{A B} | = | \vec{A C} - \vec{A B} |$ ， $\cos 2 C + 2 \sin^{2} \frac{A + B}{2} = 1$ ，则 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} =$ （）

A、1 B、3 C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若对任意的正整数 $n$ ，都有 $a_{n + 1} \leq S_{n}$ ，则称 ${a_{n}}$ 为“和谐数列”，若数列 ${\frac{a_{1}}{2^{n - 1}}}$ 为“和谐数列”，则 $a_{1}$ 的取值范围为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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8. 已知在正三棱雉 $A - B C D$ 中， $E$ 为 $A D$ 的中点， $A B ⊥ C E$ ，则正三棱雉 $A - B C D$ 的表面积与该三棱雉的外接球的表面积的比为（）

A、 $\frac{6 + \sqrt{3}}{4 π}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{4 π}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{4 π}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{3}}{6 π}$

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二、多选题

9. 若复数 $z$ 满足 $z (1 - 2 i) = 10$ ，则（）

A、 $\bar{z} = 2 - 4 i$ B、 $z - 2$ 是纯虚数 C、复数 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限 D、若复数 $z$ 在复平面内对应的点在角 $α$ 的终边上，则 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$

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10. 如图正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，取正方体六个面的中心G，H，M，N，E，F将其连接起来就得到了一个正八面体，下面说法正确的是（）

A、 $E H //$ 平面 $F M N$ B、 $E M$ 与平面 $G H M N$ 所成角为 $\frac{π}{4}$ C、平面 $F M N ⊥$ 平面 $F G H$ D、平面 $F H M //$ 平面 $E G N$

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11. 设角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为 $P (a ， b)$ ．记 $a = f (α)$ ， $b = g (α)$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $\tan α = \frac{a}{b}$ B、 $a = f (α)$ 为偶函数， $b = g (α)$ 为奇函数 C、 $f (α) - g (α)$ 与 $f (α) + g (α)$ 的最大值均为 $\sqrt{2}$ D、 $f (α) - g (α)$ 与 $f (α) + g (α)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 均为单调递增函数

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} - 1 ， x \geq m \\ - x^{2} - 4 x - 4 ， x < m \end{array}$ （ $m \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数），则（）

A、函数 $f (x)$ 至多有2个零点 B、函数 $f (x)$ 至少有1个零点 C、当 $m < - 3$ 时，对 $\forall x_{1} \neq x_{2} ，$ 总有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ 成立 D、当 $m = 0$ 时，方程 $f [f (x)] = 0$ 有3个不同实数根

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三、填空题

13. 若圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上恰有3个点到直线 $l : x - y + b = 0$ 的距离为1，则 $b =$ ．

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14. 学数学的人重推理爱质疑，比如唐代诗人卢死《塞下曲》：“月黑雁飞高，单于夜遁逃．欲将轻骑逐，大雪满弓刀．”这是一首边塞诗的名篇，讲述了一次边塞的夜间战斗，既刻画出边塞征战的艰苦，也透露出将士们的胜利豪情．这首诗历代传请，而无人提出疑问，当代著名数学家华罗庚以数学家特有的敏感和严密的逻辑思维，发现了此诗的一些疑点，并写诗质疑，诗云：北方大雪时，群雁早南归．月黑天高处，怎得见雁飞？”但是，数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家贵马于1640年提出了以下猜想 $F_{n} = 2^{2^{n}} + 1 (n = 0 ， 1 ， 2 ， \dots)$ 是质数，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出 $F_{5} = 641 * 6700417$ 不是质数．现设 $a_{n} = \log_{2} [\log_{2} (F_{n} - 1)] (n = 1 ， 2 ， \dots)$ ， $b_{n} = \frac{1}{a_{n} (a_{n} + 1)}$ 则表示数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ ．

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15. 如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地面b米，在离地面c米的C处看此树，则距离此树米时，看A、B的视角 $(∠ A C B)$ 最大．（结果用a，b，c表示）

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F (1 ， 0)$ ，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A$ ， $B$ 两点，且 $2 \vec{A B} = - 3 \vec{F A}$ ，则抛物线的准线方程为； $| B F |$ 的值为．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $\sin^{2} (B + C) - \sin^{2} B - \sin^{2} C + \sin B \sin C = 0$ ．再从条件①，条件②，这两个条件中选择一个作为已知，求：

(1)、 $a$ 的值

(2)、 $△ A B C$ 的面积；
条件①： $c = 4$ ， $a + b = 6 + 2 \sqrt{7}$ ；

条件②： $b = 6$ ， $\sin (\frac{3 π}{2} - B) = - \frac{\sqrt{7}}{4}$ ．

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18. 为了进一步增加市场竞争力，华为公司计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本 $250$ 万，每生产 $x$ （千部）手机，需另投入成本 $R (x)$ 万元，且 $R (x) = {\begin{array}{l} 10 x^{2} + 100 x ， 0 < x < 40 \\ 701 x + \frac{10000}{x} - 9450 ， x \geq 40 \end{array}$ ，有市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部售完

(1)、求出2020年的利润 $W (x)$ （万元）关于年产量 $x$ （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；

(2)、2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

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19. 已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 轴截面 $A B C D$ ，圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点 $E$ 为下底圆弧 $C D$ 的中点，点 $N$ 为上底圆周上靠近点A的 $\overset{⌢}{A B}$ 的四等分点，经过 $O_{1}$ 、 $O_{2}$ ， $N$ 三点的平面与弧 $C D$ 交于点 $M$ ，且 $E$ ， $M$ ， $N$ 三点在平面 $A B C D$ 的同侧．

(1)、判断平面 $O_{1} O_{2} M N$ 与直线 $C E$ 的位置关系，并证明你的结论﹔

(2)、 $P$ 为上底圆周上的一个动点，当四棱锥 $P - A B C D$ 的体积最大时，求异面直线 $C P$ 与 $D B$ 所成角的余弦值．

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20. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， ${b_{n}}$ 是正项等比数列，且 $a_{1} + b_{1} = 3$ ， $b_{1} = 2 a_{1}$ ， $a_{3} + b_{3} = 13$ ， $S_{5} - 3 b_{3} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n}$ ，记 $T_{n} = c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2} + \dots + c_{n} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，求 $T_{n}$ ．

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与直线 $l$ ： $y = 1 - x$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，过原点 $O$ 与线段 $P Q$ 中点 $E$ 的直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求糊圆 $C$ 的离心率；

(2)、若椭圆 $C$ 的短轴长为 $2 \sqrt{2}$ ，点 $A$ 为长轴的右顶点﹐求 $△ A P Q$ 的面积．

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22. 已知函数 $f (x) = a e^{a x} - \sqrt{x} (a > 0)$ 有两个零点 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ．

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，证明： $2 \sqrt{x_{1}} + x_{0} > 2$ ．

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$x$	1	2	3	4
$y$	0	0	-6	11