黑龙江省齐齐哈尔2021届高三上学期理数模拟试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则 $z^{2021} =$ （）

A、 $i$ B、 $- i$ C、-1 D、1

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2. 设集合 $A = {x | (x + 1) (x - 5) < 0, x \in Z}$ ， $B = {x | x (x - 2) \geq 0, x \in Z}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2, 3, 4}$ B、 ${0, 2}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${0, 1, 2}$

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3. 已知如表所示数据的回归直线方程为 $\hat{y} = 5 x + 6$ ，则实数m的值为（）

x

2

4

5

6

y

14

m

32

37

A、25 B、26 C、27 D、28

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4. 焦点坐标为 $(3 ， 0) ， (- 3 ， 0)$ 长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{91} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{100} + \frac{x^{2}}{91} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{25} + \frac{x^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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5. 圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上任意一点 $M$ 到直线 $3 x + 4 y - 15 = 0$ 的距离大于 $2$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $4 a_{1}$ ， $\frac{1}{2} a_{3}$ ， $3 a_{2}$ 成等差数列．则 $\frac{a_{2018} - a_{2020}}{a_{2017} - a_{2019}}$ =（）

A、4或-1 B、4 C、-1 D、-4

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7. 函数 $f (x) = x^{3} - \sin x$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上的图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 计算： $(\cos \frac{5 π}{12} + \cos \frac{π}{12}) (\cos \frac{5 π}{12} - \cos \frac{π}{12}) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为 $\sqrt{3}$ ，则正视图中的x为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A$ ， $ω$ ， $φ$ 是常数， $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.为了得到函数 $f (x)$ 的图象，可以将函数 $y = \sqrt{2} \sin x$ 的图象（）

A、先向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变 B、先向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 C、先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D、先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变

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11. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作倾斜角为θ的直线 $l$ 交双曲线 $C$ 的右支于 $A$ 、 $B$ 两点，其中点 $A$ 在第一象限，且 $\cos θ = \frac{1}{4}$ ．若 $| A B | = | A F_{1} |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、 $\sqrt{15}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} (x \geq 0) \\ m x + m (x < 0) \end{array}$ 在R上单调递增，当m取得最大值时，若存在 $x \in (- 1 ， 3)$ 使得 $k f (x) - f (- x) \geq 0$ 成立，则实数k的取值范围是（）

A、 $[- \frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[- \frac{2}{e^{3}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2 \vec{b}) =$ ．

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14. 新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A医院某科室的6名男医生(含一名主任医师)､4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有种.(用数字作答)

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15. 三棱锥 $P ﹣ A B C$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ ， $P A = 3$ ，在底面 $A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ C = 60 °$ ，则三棱锥 $P ﹣ A B C$ 的外接球的体积等于．

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16. 观察下列各式：
$1 + \frac{1}{2} C_{1}^{1} = \frac{2^{2} - 1}{2}$ ，

$1 + \frac{1}{2} C_{2}^{1} + \frac{1}{3} C_{2}^{2} = \frac{2^{3} - 1}{3}$ ，

$1 + \frac{1}{2} C_{3}^{1} + \frac{1}{3} C_{3}^{2} + \frac{1}{4} C_{3}^{3} = \frac{2^{4} - 1}{4}$ ，

$1 + \frac{1}{2} C_{4}^{1} + \frac{1}{3} C_{4}^{2} + \frac{1}{4} C_{4}^{3} + \frac{1}{5} C_{4}^{4} = \frac{2^{5} - 1}{5}$ ，

……

照此规律，当 $n \in N^{*}$ 时， $1 + \frac{1}{2} C_{n}^{1} + \frac{1}{3} C_{n}^{2} + \dots + \frac{1}{n + 1} C_{n}^{n} =$ ．

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三、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\frac{\sin A + \sin C}{c - b} = \frac{\sin B}{c - a}$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，且 $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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18. 如图所示，半圆弧 $\overset{⌢}{A D}$ 所在平面与平面 $A B C D$ 垂直，且 $M$ 是 $\overset{⌢}{A D}$ 上异于 $A$ ， $D$ 的点， $A B ∥ C D$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2 C D = 2 B C$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $B D M$ ；

(2)、若 $M$ 为 $\overset{⌢}{A D}$ 的中点，求二面角 $B - M C - D$ 的余弦值.

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19. 为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛.规定每一局比赛中获胜方记2分，失败方记0分，没有平局，谁先获得10分就获胜，比赛结束.假设每局比赛小明获胜的概率都是 $\frac{2}{3}$ .

(1)、求比赛结束时恰好打了7局的概率；

(2)、若现在是小明6：2的比分领先，记 $X$ 表示结束比赛还需打的局数，求 $X$ 的分布列及期望.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，焦点为F，准线为l，抛物线C上一点A的横坐标为3，且点A到焦点的距离为4.

(1)、求抛物线的方程；

(2)、设过点 $P (6 ， 0)$ 的直线 $l$ 与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线 $l$ 的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = a \ln x + x^{2} - (a + 2) x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的斜率为1，求a的值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在区间 $(1 ， e)$ 上存在零点，证明：当 $x \in (1 ， e)$ 时， $f (x) > - e^{2}$ .

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x - 1 = m^{2} + 2 m \\ y - 2 = 2 m \end{array}$ （m为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ \sin θ - ρ \cos θ + 1 = 0$ ．

(1)、求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (3 ， 2)$ ，设直线l与曲线C交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值．

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23. 设函数 $f (x) = | x |$ ， $g (x) = | 2 x - 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) + g (x) \leq 2$ ；

(2)、若 $2 f (x) + g (x) > a x - 2$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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