黑龙江省大庆市2021届高三文数二模试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 2}$ ， $B = {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${3 ， 4}$ B、 ${0 ， 3 ， 4}$ C、 ${0 ， 1 ， 2}$ D、 ${0}$

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2. 设 $i$ 是虚数单位，则复数 $z = 2 i (3 - 2 i)$ 对应的点在平面内位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 命题“ $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 2021 > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 2021 < 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $x_{0}^{2} - x_{0} + 2021 \leq 0$ C、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 2021 < 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} - x + 2021 \leq 0$

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4. $\sin \frac{π}{12} \cos \frac{π}{12} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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5. 已知直线 $l$ ： $x + y + 1 = 0$ 与圆 $C$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则弦 $A B$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 已知 $m$ ， $n$ ， $l$ 是三条不同的直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，则下列判断不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$ . B、若 $m$ ， $n$ 都与 $l$ 相交且 $m / / n$ ，则直线 $m$ ， $n$ ， $l$ 共面. C、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m / / n$ ，则 $α / / β$ . D、若 $m$ ， $n$ ， $l$ 两两相交，且交于同一点，则直线 $m$ ， $n$ ， $l$ 共面.

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7. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (2 ， 1) ， \overset{⇀}{b} = (- 1 ， x) ， (2 \overset{⇀}{a} + \overset{⇀}{b}) ⊥ \overset{⇀}{a}$ ，则x的值为（）

A、-4 B、-8 C、4 D、8

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8. 日晷是我国古代按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同.二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，如此周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）

A、白露比立秋的晷长长两尺 B、大寒的晷长为一丈五寸 C、处暑和谷雨两个节气的晷长相同 D、立春的晷长比立秋的晷长长

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9. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (2 + x) = f (x)$ ， $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) = \sqrt{x}$ ，则函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = \frac{| x |}{3}$ 的图象的交点个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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10. 函数 $f (x) = e^{| x | - \frac{1}{2}} \sin 2 x$ 的部分图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知锐角 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $a = \sqrt{3}$ ， $b^{2} + c^{2} - b c = 3$ ，则 $△ A B C$ 面积的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3 \sqrt{3}}{4}]$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3 \sqrt{3}}{4})$ C、 $(\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{3 \sqrt{3}}{4})$ D、 $(\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{3 \sqrt{3}}{4}]$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ ， $g (x) = \cos x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ .对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{g (x_{1}) - g (x_{2})} > 0$ .则实数 $a$ 的最大值是（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{2} + 1$ C、 $1 - \frac{π}{2}$ D、1

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二、填空题

13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点与原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $P (- 1 ， 3)$ ，则 $\cos α =$ .

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14. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 \\ x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 \leq 0 \end{array}$ ，则 $z = y - 2 x$ 的最小值为.

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15. 某机构一年需购买消毒液300吨，每次购买x吨，每次运费为3万元，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是.

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16. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，圆 ${(x - \frac{p}{2})}^{2} + y^{2} = 1$ 与y轴相切，斜率为k的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A，D两点，与圆交于B，C两点(A，B两点在x轴的同一侧)，若 $\overset{⇀}{A B} = 4 \overset{⇀}{C D}$ ，则k的值为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $2 S_{n} = 3 a_{n} - 3 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{\log_{3} a_{n} \cdot {log}_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2亿元政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下表所示，其中年龄在45岁及以下的人数占样本总数的

\frac{3}{5}

，没使用过政府消费券的人数占样本总数的

\frac{3}{10}

	使用过政府消费券	没使用过政府消费券	总计
45岁及以下	90
45岁以上
总计			200

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024

(1)、请将题中表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？

(2)、现从45岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8人做进一步访谈，然后再从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，则抽取的2人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的概率为多少？

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19. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，棱长为2，且 $E ， F$ 分别为 $B B_{1} ， D D_{1}$ 的中点.

(1)、求证： $A E$ ∥平面 $B C_{1} F$ ；

(2)、求四面体 $A - B C_{1} F$ 的体积.

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20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $P$ 为椭圆右顶点，过点 $C (\frac{2}{3} ， 0)$ 作斜率不为 $0$ 的直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $A ， B$ 两点，求证： $P A ⊥ P B$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x - a \ln x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $f (x)$ 有两个相异零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，求证： $x_{1} \cdot x_{2} > e^{2}$ .

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22. 在直角坐标系 $x o y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} t \\ y = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{array}$ ( $t$ 为参数)，以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{2}{\cos 2 θ + 3 \sin^{2} θ}$ .

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (0 ， \sqrt{3})$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，求 $| \frac{1}{| P M |} - \frac{1}{| P N |} |$ 的值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 3 | + | x - 2 |$ 的最小值为 $M$ .

(1)、求 $M$ ；

(2)、设 $a$ ， $b$ ， $c$ 均为正实数，且 $2 a + 2 b + c = M$ ，证明： $(\frac{5}{2 a} - 1) (\frac{5}{2 b} - 1) (\frac{5}{c} - 1) \geq 8$ .

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