河北省张家口市2021届高三上学期数学12月阶段测试试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ 0 < x < 2}$ ， $B = {x ∣ \sqrt{x^{2}} < 2}$ ，则（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \cap B = B$ C、 $A \cap B = A$ D、 $A \cup B = R$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， ${c_{n}}$ 均为等差数列，且 $a_{1} + b_{1} + c_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} + c_{2} = 3$ ，则 $a_{2020} + b_{2020} + c_{2020} =$ （）

A、4037 B、4039 C、4041 D、4043

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3. 若 $a = \log_{\frac{1}{4}} 3 ， b = e^{- \frac{1}{3}} ， c = 2^{\frac{1}{2}}$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < a < b$

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4. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $S = 2 \sqrt{3}$ .且 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = - 4$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、2π C、 $\frac{8 π}{3}$ D、 $\frac{4 π}{3}$

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6. 图1是第七届国际数学教育大会( $I C M E - 7$ )的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的(如图2)，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = \dots = A_{7} A_{8} = 1$ ，则 $\sin ∠ A_{6} O A_{8} =$ （）

A、 $\frac{7 \sqrt{2} + 2 \sqrt{21}}{28}$ B、 $\frac{7 \sqrt{2} - 2 \sqrt{21}}{28}$ C、 $\frac{14 \sqrt{3} + 1}{28}$ D、 $\frac{14 \sqrt{3} - 1}{28}$

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7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，底面 $A B C$ 为等边三角形，侧面 $A A_{1} C_{1} C$ 是菱形，且 $∠ A_{1} A C = \frac{π}{3}$ ，侧面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 底面 $A B C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，则直线 $A_{1} D$ 与平面 $A B C$ 所成的角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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8. 设 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) \cup (0 ， + \infty)$ 上的函数， $f^{'} (x)$ 为其导函数，已知 $f (1 - 2 x) = f (2 x - 1)$ ， $f (- 2) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $- x f^{'} (x) < f (x)$ ，则使得 $f (x) > 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 ， 0) \cup (0 ， 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 2) \cup (0 ， 2)$ D、 $(0 ， 2) \cup (2 ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若命题“ $\exists x \in R$ ， $(k^{2} - 1) x^{2} + 4 (1 - k) x + 3 \leq 0$ ”是假命题，则 $k$ 的值可能为（）

A、-1 B、1 C、4 D、7

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10. 将函数 $f (x) = 2 \cos (2 x - \frac{π}{4})$ 的图像向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度，得到 $y = g (x)$ 的图像，则（）

A、 $y = f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{8} ， \frac{π}{2}]$ 上是减函数 B、 $f (\frac{π}{4} - x) = f (\frac{π}{4} + x)$ C、 $y = g (x)$ 是奇函数 D、 $y = g (x) - 1$ 在 $[- π ， π]$ 上有4个零点

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11. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = 4$ ， $A A_{1} = 8$ ，点 $P$ 在线段 $A_{1} C_{1}$ 上， $M$ 为 $A B$ 的中点，则（）

A、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ B、当 $P$ 为 $A_{1} C_{1}$ 的中点时，四棱锥 $P - A B C D$ 外接球半径为 $\frac{7}{2}$ C、三棱锥 $A - P C D$ 体积为定值 D、过点 $M$ 作长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球截面，所得截面圆的面积的最小值为 $4 π$

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12. 已知函数 $f (x) = e^{x} - e^{- x} - 2 x$ 的定义域为 $R$ ， $e$ 为自然底数，给出下列结论：① $f (x)$ 是奇函数；② $f (x)$ 是 $R$ 上的增函数；③ $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的值域是 $[0 ， \frac{e^{2} - 2 e - 1}{e}]$ ；④ $f (x) = \frac{7}{3} - e$ 在 $[- 1 ， 1]$ 上有实根，其中正确的结论是（）

A、① B、② C、③ D、④

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三、填空题

13. 已知集合 $M = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $N = {x | 2 a - 3 \leq x \leq 2 a + 2}$ ，若 $M \subseteq N$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14. 在四面体 $A B C D$ 中， $A B = A D = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = C D = 2 \sqrt{2}$ ， $A C = B D = 4$ ，则点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离是.

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15. 已知正数 $m$ ， $n$ 满足 $\sqrt[m]{4} \times \sqrt[n]{8} = 2$ ，则 $3 m + 2 n$ 的最小值为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $2 \sin C = \frac{a^{2} + b^{2} + 1 + 2 a b}{a + b}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值为.

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四、解答题

17. 在① $A B = 2 B D = 12$ ，② $\sin ∠ B A D = \sqrt{2} \sin ∠ A B D$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点，③ $∠ D A B = \frac{π}{6}$ ， $A B = 10 \sqrt{3}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $A C$ 的长；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = \frac{π}{4}$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上， $A D = 10$ ， ▲ ？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知 ${a_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列， $3 a_{2}$ 为 $a_{3}$ ， $a_{4}$ 的等差中项.且 $a_{1} + a_{3} = 5$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{1} + \log_{2} a_{2} + \dots \dots \dots + \log_{2} a_{n}$ ，求 ${\frac{1}{b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos (x + \frac{π}{3}) - \sin \frac{π}{3} \cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T$ 及 $f (\frac{100 π}{3})$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $| f (x + \frac{π}{12}) + \frac{\sqrt{3}}{2} | = a$ ，在 $[0 ， \frac{3 π}{4}]$ 上有3个解，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 45^{°}$ ， $P D = A D = 5$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在棱 $A B$ ， $P C$ 上，且 $A E ： A B = P F ： F C = 2 ： 3$ .

(1)、证明 $P A / /$ 平面 $D E F$ ；

(2)、求四棱锥 $F - B C D E$ 的体积.

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21. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是直角梯形， $A B$ 垂直于 $A D$ 和 $B C$ ，侧棱 $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ 为 $S B$ 的中点，且 $S A = A B = B C = 1$ ， $A D = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面 $S B C$ ；

(2)、求四棱锥 $S - A B C D$ 体积；

(3)、求面 $S C D$ 与面 $S A B$ 所成二面角的余弦值.

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22. 已知函数 $f (x) = (e^{a x} - 1) \ln x (a > 0)$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a x^{2} - a x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 上恰有三个不同的实数解，求 $a$ 的取值范围.

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