河北省石家庄五校联合体2021届高三上学期数学12月质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 7 x > 0}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap B =$ （）

A、 $[- 1 ， 0]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 3]$ D、 $[3 ， \frac{7}{2}]$

查看试题解析
2. 设复数z满足 $\frac{z - i}{2 - i} = i$ ，则|z|＝（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\sqrt{5}$ C、3 D、1

查看试题解析
3. 已知 $\sin (π + α) = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{\sin (- α) \cos (π - α)}{\sin (\frac{π}{2} - α)} =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
4. 已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当-1＜x＜0时，f（x）＝2^x-a，若 $f (\log_{2} 24) = \frac{1}{3}$ ，则a＝（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

查看试题解析
5. 在 $Δ A B C$ 中，点 $D$ 满足 $\overset{⇀}{B D} = 2 \overset{⇀}{D C}$ ， $E$ 为AD上一点，且 $\overset{⇀}{B E} = m \overset{⇀}{B A} + n \overset{⇀}{B C}$ $(m > 0 ， n > 0)$ ，则 $m n$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 已知某三棱锥的三条侧棱两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为4，6，12，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、36π B、52π C、56π D、224π

查看试题解析
7. 用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为（）

A、 $\frac{5}{32}$ B、 $\frac{5}{16}$ C、 $\frac{11}{32}$ D、 $\frac{11}{16}$

查看试题解析
8. 已知点 $F_{2}$ 为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点，直线 $y = k x$ 交 $C$ 于 $A ， B$ 两点，若 $∠ A F_{2} B = \frac{2 π}{3}$ ， $S_{Δ A F_{2} B} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $C$ 的虚轴长为（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析

二、多选题

9. 若a＝2^0.01 ， c＝lg3，且a＞b＞c.则b可能是（）

A、2^-0.5 B、2lg2 C、 ${(\sqrt{3})}^{- 1}$ D、3^0.02

查看试题解析
10. 下图统计了截止到2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这5次统计，下列说法错误的是（）

A、私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是2018年 B、公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是25.7万台 C、公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为23.12万台 D、从2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过50%

查看试题解析
11. 已知函数 $f (x) = a sin x - \sqrt{3} cos x$ 的一条对称轴为 $x = \frac{5 π}{6}$ ，函数 $f (x)$ 在区间 $(x_{1} ， x_{2})$ 上具有单调性，且 $f (x_{1}) = - f (x_{2})$ ，则下述四个结论正确的是（）

A、实数 $a$ 的值为1 B、 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ 和 $(x_{2} ， f (x_{2}))$ 两点关于函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴对称 C、 $x_{2} - x_{1}$ 的最大值为 $π$ D、 $| x_{1} + x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{2 π}{3}$

查看试题解析
12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 p x (p > 0)$ 的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且 $| F A | = 2 | A S |$ ，则（）

A、 $| T S | = 2 p$ B、 $\frac{| F B |}{| T S |} = 2$ C、 $| B F | = \frac{4}{5} p$ D、 $| A F | = \frac{4}{3} p$

查看试题解析

三、填空题

13. 圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线 $x + \sqrt{3} y - 5 = 0$ 相切的圆的方程为.

查看试题解析
14. 一批排球中正品有m个，次品有n个，m＋n＝10（m≥n），从这批排球中每次随机取一个，有放回地抽取10次，X表示抽到的次品个数.若D（X）＝2.1，从这批排球中随机取两个，则至少有一个正品的概率p＝.

查看试题解析
15. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ，且对于任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} = a_{1} + a_{n} + n - 1$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{985}} =$ .

查看试题解析
16. 若 $x^{2} > \log_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在①2ccosC-acosB-bcosA＝0，② $a = c \cos B - \frac{\sqrt{3}}{3} b \sin C$ ，③（a＋b）²＝ab＋c²这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 $\frac{a}{b}$ ，并判断△ABC的形状，请说明理由.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＋c＝2b， ▲ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值并判断△ABC的形状，请说明理由.

查看试题解析
18. 已知前 $n$ 项和为 $S_{n}$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $8 a_{2}^{2} = a_{3} a_{4}$ ， $S_{5} = a_{6} - 4$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{4} \leq \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{a_{n}} < \frac{1}{2}$ .

查看试题解析
19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $P B = P C$ ， $E$ 为线段BC的中点，F为线段 $P A$ 上的一点.

(1)、证明：平面 $P A E ⊥$ 平面BCP.

(2)、若 $P A = A B = \frac{\sqrt{2}}{2} P B$ ，二面角A-BD-F的余弦值为 $\frac{3}{5}$ ，求PD与平面BDF所成角的正弦值.

查看试题解析

20. 某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：

每月完成合格产品的件数（单位：百件）	$[26 ， 28)$	$[28 ， 30)$	$[30 ， 32)$	$[32 ， 34)$	$[34 ， 36]$
频数	10	45	35	6	4
男员工人数	7	23	18	1	1

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

P(k²≥k)	0.050 0.010 0.001
k	3.841 6.635 10.828

(1)、其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为“生产能手”与性别有关？

	非“生产能手”	“生产能手”	合计
男员工
女员工
合计

(2)、为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出

(0 ， 200]

件的部分，累进计件单价为1.2元；超出

(200 ， 400]

件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为，求的分布列和数学期望.

查看试题解析

21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）过点 $(\sqrt{3} ， - \frac{1}{2})$ ，且它的焦距是短轴长的 $\sqrt{3}$ 倍.

(1)、求椭圆C的方程.

(2)、若A，B是椭圆C上的两个动点（A，B两点不关于x轴对称），O为坐标原点，OA，OB的斜率分别为k₁ ， k₂ ，问是否存在非零常数λ，使k₁k₂＝λ时， $△ A O B$ 的面积S为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = (2 x^{2} - 4 x + 4) e^{x} - a x^{2} - e (a \in R)$ .

(1)、若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l过点（0，1-e），求实数a的值；

(2)、当a＞0时，若函数f（x）有且仅有3个零点，求实数a的取值范围.

查看试题解析