河北省2021届高三上学期数学12月月考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | (x + 3) (x + 8) < 0}$ ，则 $A \cap Z =$ （）

A、 ${x | - 8 < x < - 3}$ B、 ${4 ， 5 ， 6 ， 7}$ C、 ${x | 3 < x < 8}$ D、 ${- 7 ， - 6 ， - 5 ， - 4}$

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2. 已知复数 $z = (2 + i^{3}) \cdot i$ ，则z在复平面内对应的点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列函数中，既是奇函数又在定义域内单调递减的是（）

A、 $f (x) = \sin x - x$ B、 $f (x) = 3^{- x} - 1$ C、 $f (x) = \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = \log_{3} | x |$

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4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \sqrt{2} x$ B、 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ C、 $y = \pm \frac{1}{2} x$ D、 $y = \pm 2 x$

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5. 已知向量 $\vec{a} = (2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， n)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $| 3 \vec{a} - n \vec{b} | =$ （）

A、 $4 \sqrt{5}$ B、12 C、8 D、 $\sqrt{5}$

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6. 明朝早期，郑和七下西洋过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性地应用于航海，形成了一套先进航海技术——“过洋牵星术”．简单地说，就是通过观测不同季节、时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判断方位．其采用的主要工具是牵星板，由12块正方形木板组成，最小的一块边长约2厘米（称一指），木板的长度从小到大依次成等差数列，最大的边长约24厘米（称十二指）．观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂伸直，眼睛到木板的距离大约为72厘米，使牵星板与海平面垂直，让板的下缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，依高低不同替换、调整木板，当被测星辰落在木板上边缘时所用的是几指板，观测的星辰离海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度．如图所示，若在一次观测中，所用的牵星板为六指板，则 $tan 2 α =$ （）

A、 $\frac{12}{35}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{12}{37}$ D、 $\frac{1}{3}$

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7. 已知抛物线M： $y = 2 p x^{2} (p > 0)$ 的焦点为F，过点F且斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线l与抛物线M交于A（点A在第二象限），B两点，则 $\frac{| A F |}{| A B |} =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、4 D、5

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且对任意实数x都有 $f (x) + f^{'} (x) > 1$ ，则不等式 $e^{x} f (x) > e^{x} - 1$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 0)$ B、 $(0 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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9. 在新冠疫情的持续影响下，全国各地电影院等密闭式文娱场所停业近半年，电影行业面临巨大损失.2011～2020年上半年的票房走势如下图所示，则下列说法正确的是（）

A、自2011年以来，每年上半年的票房收入逐年增加 B、自2011年以来，每年上半年的票房收入增速为负的有5年 C、2018年上半年的票房收入增速最大 D、2020年上半年的票房收入增速最小

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二、多选题

10. 已知 $x > 1$ ，则 $x + \frac{25}{x - 1}$ 的值可以为（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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11. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin 2 ω x (ω > 0)$ ，若 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ，则下列说法正确的有（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(- \frac{π}{12} + \frac{k π}{2} ， 0) (k \in Z)$ B、函数 $y = f (x) - 2$ 在 $[0 ， π]$ 上有且只有两个零点 C、 $f (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{π}{3} + k π ， \frac{π}{6} + k π] (k \in Z)$ D、将函数 $y = 2 \sin 2 x + 1$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到 $f (x)$ 的图象

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12. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点E在棱 $D D_{1}$ 上，且 $2 D E = E D_{1} ， F$ 是线段 $B B_{1}$ 上一动点，则下列结论正确的有（）

A、 $E F ⊥ A C$ B、存在一点F使得 $A E / / C_{1} F$ C、三棱锥 $D_{1} - A E F$ 的体积与点F的位置无关 D、直线 $A A_{1}$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值的最小值为 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x}, x \leq 0 \\ f (x - 3), x > 0 \end{array}$ ，则 $f (6) =$ .

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14. ${(\frac{1}{6} + 2 x - y)}^{6}$ 的展开式中 $x y^{3}$ 项的系数是.

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15. 已知正三棱柱 $A B C - A ， B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $6 \sqrt{3}$ ，则该正三棱柱外接球的体积的最小值为.

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16. 已知函数 $f (x) = | 4^{x} - 3 | + 2$ ，若函数 $g (x) = {[f (x)]}^{2} - 2 m f (x) + m^{2} - 1$ 有4个零点，则m的取值范围是．

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四、解答题

17. 在递增的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 9$ ， $a_{2} + a_{4} = 30$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \log_{3} a_{2 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 在① $a + c = \sqrt{3} b$ 且 $2 \sin^{2} B = 3 \sin A \sin C$ ，② ${(\sin A - \sin C)}^{2} = \sin^{2} B - \sin A \sin C$ ，③ $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})}{4}$ 这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且______.

(1)、求 $\sin B$ ；

(2)、若 $a = 2 c$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系，农业农村部对160城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研得到如下表格：

猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)	$(0 ， 40]$	$(40 ， 50]$	$(50 ， 60]$
$(0 ， 3000]$	6	15	0
$(3000 ， 4000]$	2	27	5
$(4000 ， 5000]$	9	45	16
$(5000 ， 6000]$	0	16	19

(1)、估计全国各地猪肉价格在

(50 ， 60]

(元/千克)内的概率；

(2)、估计这160个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数)；

(3)、根据所给数据完成下面的列联表并根据列联表判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关.

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.05	0.010	0.005
k	3.841	6.635	7.879
猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)	$(0 ， 50]$	$(50 ， 60]$	合计
$(0 ， 4000]$
$(4000 ， 6000]$
合计

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20. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$ ， $B D = 8$ ， $A C = 6$ ，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折到 $△ P A C$ 的位置使得 $P D = 4$ ．

(1)、证明： $P B ⊥ A C$ ．

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且经过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、已知 $M (0 ， m) (m > 1)$ ，经过点 $M$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，若原点到直线 $l$ 的距离为 $1$ ，且 $\vec{M A} = \vec{A B}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - \frac{x}{e}$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 存在一条切线与直线 $y = a x$ 垂直，求a的取值范围；

(2)、证明： $f (x) < x^{2} - ln x - \frac{3}{4} sin x$ .

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