广东省汕头市2020-2021学年度高三上学期数学教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | (x - 2) (x - 4) < 0}$ ， $B = {x | x < 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | x > 2}$ B、 ${x | x < 4}$ C、 ${x | 2 < x < 3}$ D、 $R$

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2. 已知 $a$ 是实数， $\frac{a - i}{1 - i}$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、1 B、 $- \sqrt{2}$ C、-1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一，古代数学家称直角三角形较短的直角边为勾，另一直角边为股，斜边为弦，其三边长组成的一组数据成为勾股数，现有一组勾股数3，4，5，则由这组勾股数组成没有重复数字的三位数中，能被2整除的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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4. 已知 $a = {(\sin 3)}^{3}$ ， $b = 3^{\sin 3}$ ， $c = \ln \sin 3$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $c < a < b$

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5. 爱美之心，人皆有之健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了100名肥胖者，健身之前他们的体重（单位：kg）情况如柱状图1所示，经过六个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这100名肥胖者，下面结论不正确的是（）

A、他们健身后，体重在区间 $[90 ， 100)$ 内的人数增加了10个 B、他们健身后，原来体重在区间 $[110 ， 120)$ 内的肥胖者体重都有减少 C、他们健身后，体重在区间 $[100 ， 110)$ 内的人数没有改变 D、因为体重在 $[100 ， 110)$ 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响

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6. $(x - 2 y) {(2 x - y)}^{5}$ 的展开式中的 $x^{3} y^{3}$ 系数为（）

A、-200 B、-120 C、120 D、200

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7. 已知定义在R的函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：①对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) - f (- x) = 0$ ；②对任意 $x_{1} ， x_{2} \in [0 ， + \infty)$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ 都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ；③ $f (2) = 0$ ，则不等式 $f (\log_{2} x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4}) \cup (4 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(4 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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8. 运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{36} = 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）

A、64π B、148π C、128π D、32π

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二、多选题

9. 已知数列 ${a_{n}}$ 是公差为3的等差数列， $a_{4} = 1$ ，数列 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，下面选项中正确的是（）

A、 $a_{8} = 2 a_{6} + 1$ B、 $S_{n}$ 小值为-15 C、 $S_{n} > 0$ 时 $n$ 的最小值为7 D、 ${a_{n}}$ 前 $n$ 项之积最大值40

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10. 下列不等式正确的有（）

A、当 $x \in (0 ， \frac{π}{2})$ 时，函数 $y = \sin x + \frac{2}{\sin x}$ 的最小值为 $2 \sqrt{2}$ B、若 $a^{x} > \log_{a} x$ 恒成立，则 $2^{a} \leq 2$ C、函数 $y = 1 - 2 x - \frac{3}{x}$ $(x < 0)$ 的最小值为 $1 + 2 \sqrt{6}$ D、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $| \ln a | = | \ln b |$ 且 $a \neq b$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是4

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ $(A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，现将 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到 $y = g (x)$ 的图象，下列说法错误的是（）

A、该图象对应的函数解析式为 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ B、函数 $y = g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、函数 $y = g (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称 D、函数 $y = g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增

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12. 如图，棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为线段 $A B_{1}$ 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（）

A、平面 $B C M ⊥$ 平面 $A_{1} A M$ B、三棱锥 $B - M B_{1} C$ 体积最大值为 $\frac{1}{6}$ C、当 $M$ 为 $A B_{1}$ 中点时，直线 $B_{1} D$ 与直线 $C M$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、直线 $C M$ 与 $A_{1} D$ 所成的角不可能是 $\frac{π}{4}$

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三、填空题

13. 设向量 $\vec{a} = (x ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， - x)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x =$ .

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14. 已知 $△ A B C$ 的三个顶点分别为 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (2 ， 1)$ ， $C (- 2 ， 3)$ ，则顶点 $B$ 到 $B C$ 边上中线 $A D$ 所在直线的距离为.

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15. 如图，一辆汽车以每秒20米的速度在一条水平的公路上向正西行驶，到 $A$ 处时测得公路北侧一山顶 $D$ 在西偏北15°的方向上，行驶到达 $B$ 处时，测得此山顶 $D$ 在西偏北75°的方向上，仰角为60°，已知山的高度 $C D = 3600 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ 米，则汽车从 $A$ 到 $B$ 行驶了小时.

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16. 直三棱柱的顶点都在一个半径为3的球面上，底面是等腰 $△ A B C$ ，且 $A B = A C = \frac{3}{4} B C$ ，当直三棱柱的体积最大时，此时它的高的值为.

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四、解答题

17. 在① $\sin^{2} A + \sin B \sin C = \sin^{2} B + \sin^{2} C$ ，② $2 a \cos C = 2 b - c$ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并解答.已知 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a ， b ， c$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 4$ 且满足 ▲ ，求 $△ A B C$ 面积.

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18. 已知公比不为1的等比数列 ${a_{n}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = \frac{1}{81}$ ，且 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $3 a_{3}$ 成等差数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot \cos (n π)$ ，求数列 ${n b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 已知边长为2的等边 $△ A B C$ （图1），点 $D$ 和点 $E$ 分别是边 $A C$ 、 $A B$ 上的中点，将 $△ A D E$ 沿直线 $D E$ 折到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A^{'} D E ⊥$ 平面 $B C D E$ （图2），此时点 $O$ 和点 $P$ 分别是边 $D E$ 、 $B E$ 上的中点.

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A^{'} O P$ ；

(2)、求平面 $A^{'} C D$ 与平面 $B C D E$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 当前新冠肺炎疫情形势依然严峻，防控新冠肺炎疫情需常态化，为提高防控能力以及实效，某学校为宣传防疫知识做了大量工作，近期该校还将准备组织一次有关新冠病毒预防知识竞赛活动，竞赛分初赛和决赛两阶段进行.初赛共有5道必答题，答对4道或4道以上试题即可进入决赛；决赛阶段共3道选答题.每位同学都独立答题，且每道题是否答对相互独立.已知甲同学初赛阶段答对每道题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，决赛阶段答对每题的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、求甲同学进入决赛的概率；

(2)、在决赛阶段，若选择答题，答对一道得4分，答错一道扣1分，选择放弃答题得0分，已知甲同学对于选答的3道题，选择回答和放弃回答的概率均为 $\frac{1}{2}$ .已知甲同学已获决赛资格，求甲同学在决赛阶段，得分 $x$ 的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 其左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $B$ 为椭圆的一个顶点，三角形 $B F_{1} F_{2}$ 的面积为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 为椭圆的左顶点，点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，线段 $A P$ 的垂直平分线与 $y$ 轴相交于点 $Q$ ，若 $△ P A Q$ 为等边三角形，求点 $P$ 的横坐标.

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22. 已知 $f (x) = a e^{x} - \ln (x + 1) - 1$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若 $f (x) \geq \ln \frac{1}{a}$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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