广东省六校联盟2021届高三上学期数学第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、{1} B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知命题 $p$ ： $\forall x \geq \frac{1}{8} ， x^{- \frac{1}{3}} \leq 2$ ，则命题 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x_{0} \geq \frac{1}{8} ， x_{0}^{- \frac{1}{3}} > 2$ B、 $\forall x_{0} \geq \frac{1}{8} ， x_{0}^{- \frac{1}{3}} > 2$ C、 $\exists x_{0} < \frac{1}{8} ， x_{0}^{- \frac{1}{3}} \leq 2$ D、 $\forall x_{0} < \frac{1}{8} ， x_{0}^{- \frac{1}{3}} \leq 2$

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3. 我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设 $△ A B C$ 的三个内角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，面积为 $S$ ，则“三斜求积”公式为 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} c^{2} - {(\frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ，若 $a^{2} \sin C = 5 \sin A$ ， ${(a + c)}^{2} = 16 + b^{2}$ ，则用“三斜求积”公式求得 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 已设 $a ， b$ 都是正数，则“ $l o g_{a} 3 < l o g_{b} 3$ ”是“ $3^{a} > 3^{b} > 3$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 实数 $x ， y ， k$ 满足 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \geq 0 \\ x - y + 1 \geq 0 \\ x \leq k \end{array}$ ， $z = x^{2} + y^{2}$ ，若 $z$ 的最大值为13，则 $k$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 若函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且 $f (1 + x) = f (1 - x)$ 对所有 $x \in R$ 恒成立，则下列函数值一定正确的是（）

A、 $f (1) = 0$ B、 $f (2) = 1$ C、 $f (2020) = 0$ D、 $f (2021) = 1$

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7. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A D}$ ， $\vec{A E} + 2 \vec{D E} = \vec{0}$ ，若 $\vec{E B} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则（）

A、 $y = 2 x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $x = 2 y$ D、 $x = - 2 y$

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8. 三棱锥 $P - A B C$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上.棱锥 $P - A B C$ 的各棱长为： $P A = 2$ ， $P B = 3 ， P C = 4 ， A B = \sqrt{13} ， B C = 5 ， A C = 2 \sqrt{5}$ ，则球 $O$ 的表面积为（）

A、 $28 π$ B、 $29 π$ C、 $30 π$ D、 $31 π$

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二、多选题

9. 下列四个命题中，正确的有（）

A、函数 $y = 3 \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象可由y＝3sin 2x的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度得到 B、 $y = e^{\sin 2 x}$ 的最小正周期等于π，且在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是增函数（ $e$ 是自然对数的底数） C、直线x＝ $\frac{π}{8}$ 是函数 $y = \sin (2 x + \frac{5 π}{4})$ 图象的一条对称轴 D、函数 $y = \sqrt{\tan x}$ 的定义域是 ${x | k π \leq x < k π + \frac{π}{2} ， k \in Z}$

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10. 设a>1，b>1且ab－(a＋b)＝1，那么（）

A、a＋b有最小值2＋2 $\sqrt{2}$ B、a＋b有最大值2＋2 $\sqrt{2}$ C、ab有最小值3＋2 $\sqrt{2}$ D、ab有最大值1＋ $\sqrt{2}$

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11. 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点P在线段AD₁上运动，则下列命题正确的有（）

A、直线CP和平面ABC₁D₁所成的角为定值 B、三棱锥D－BPC₁的体积为定值 C、异面直线C₁P和CB₁所成的角为定值 D、直线CD和平面BPC₁平行

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列 ${f_{n}}$ 称为斐波那契数列. 并将数列 ${f_{n}}$ 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 ${g_{n}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $g_{2019} = 2$ B、 $(f_{21} f_{23}) - {(f_{22})}^{2} + (f_{20} f_{22}) - {(f_{21})}^{2} = 0$ C、 $g_{1} + g_{2} + g_{3} + \dots + g_{2019} = 2688$ D、 $f_{1}^{2} + f_{2}^{2} + f_{3}^{2} + \dots + f_{2019}^{2} = 2 f_{2018} f_{2020}$

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三、填空题

13. 若复数 $z_{1} = {(1 - i)}^{2} ， z_{2} = 1 + i$ ，则 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 等于.

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 2 ， a_{7} = 1$ .若 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 为等差数列，则 $a_{5} =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{2}{x + 2} ， x \leq 0 且 x \neq - 2 \\ \begin{matrix} f (x - 1) + 1 ， & x > 0 \end{matrix} \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x) = k x$ 有6个不同的根，则实数k的取值范围是 .（用集合或区间表示）

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16. 已知 $\tan (π - α) = 7 \cos (\frac{π}{2} + α)$ ， $\cos (α + β) = - \frac{11}{14}$ ， $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $\cos α =$ ，角 $β =$ .

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四、解答题

17. 已知点 $A (p ， t)$ 、 $B (q ， t + 4)$ 、 $C$ $(0 ， 2)$ ， $O$ 为坐标原点，若 $\vec{A B} / / \vec{O C}$ 且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，求 $| \vec{O A} |$ 的取值范围.

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18. 从① $b_{2} = 3$ ；② $\frac{b_{1}}{a_{1}} + \frac{b_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{b_{n}}{a_{n}} = 6 - \frac{4 n + 6}{2^{n}}$ ；③ $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n} = 3 + (2 n - 3) 2^{n}$ 中任选两个补充到下面问题中的横线上，然后完成问题的解答.问题：已知数列 ${a_{n}}$ 为正项等比数列， $a_{1} = 1$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足： .

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、求 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .注：如果多次选择条件分别解答，按第一个解答计分.

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19. 如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF=∠CEF=90°，AD= $\sqrt{3}$ ，EF=2.

(1)、求证：AE∥平面DCF；

(2)、当AB的长为何值时，二面角A—EF—C的大小为60°?

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20. 已知函数 $f (x) = \sin x - x - a e^{x}$ ，其中 $a$ 为实数， $e$ 是自然对数的底数.

(1)、若 $a = - 1$ ，证明： $f (x) \geq 0$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上有唯一的极值点，求实数a的取值范围.

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21. 微型无人机航空摄影测量系统具有运行成本低、执行任务灵活等优点，正逐渐成为航空摄影测量系统的有益补充.为了测量一高层地标建筑AB的高度，无人机在空中适当高度的水平平面DEC内测得相关数据如下：在D位置测得顶端A的仰角和底端B的俯角分别为 $60^{\circ}$ 、 $45^{\circ}$ ，建筑上的点C的方位角为 $98^{\circ}$ ；在E位置测得A的仰角和B的俯角分别为 $45^{\circ}$ 、 $30^{\circ}$ ，建筑上的点C的方位角为 $68^{\circ}$ .D、E间相距220米.求建筑AB的高度.
（说明：本题中将建筑AB看作与地面所在水平平面垂直于底端B的线段.方位角是水平面内从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的角.）

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x + \frac{3}{2} x^{2} - (a + 1) x + b$ .

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、 $e$ 为自然对数的底数，若 $a \in (\frac{3}{e} - 1 ， 3 e + 1)$ 时， $f (x) \geq 0$ 恒成立，证明： $b - 2 a + 6 > 0$ .

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