广东省惠州市2021届高三上学期数学第三次调研试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {- 1, 0, 1, 2}$ ，集合 $B = {x | 1 \leq 2^{x} \leq 8}$ ，则 $A \cap B =$ （）．

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2, 3}$ D、 ${1, 2}$

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2. 已知复数 $z = \frac{1 + \sqrt{3} i}{\sqrt{3} + i}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为2， $E$ 为 $B C$ 的中点，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ ＝（）

A、-2 B、0 C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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4. 2020年4月30日，我国的5G信号首次覆盖了海拔超过8000米的珠穆朗玛峰峰顶和北坡登山路线。为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这4名技术人员中随机安排3人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有（）

A、12种 B、18种 C、24种 D、6种

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5. 若双曲线 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一条渐近线被圆 ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，则双曲线 $E$ 的离心率是（）

A、2或 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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6. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”.下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 $A B C D$ 内部为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的.我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”，从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点，这两个顶点取自同一片风叶的概率为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{3}{14}$ D、 $\frac{11}{14}$

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7. 若函数 $f (x) = A \sin (2 x + φ)$ ( $A > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = A \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心

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8. 已知 $a = 2^{2.1}$ ， $b = {2.1}^{2}$ ， $c = \ln {2.1}^{4}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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二、多选题

9. 无穷等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为S_n ，若a₁＞0，d＜0，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 单调递减 B、数列 ${a_{n}}$ 有最大值 C、数列 ${S_{n}}$ 单调递减 D、数列 ${S_{n}}$ 有最大值

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10. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 到准线的距离为2，过点 $F$ 的直线与抛物线交于 $P ， Q$ 两点， $M$ 为线段 $P Q$ 的中点， $O$ 为坐标原点，则（）

A、 $C$ 的准线方程为 $y = - 1$ B、线段 $P Q$ 长度的最小值为4 C、 $S_{△ O P Q} \geq 2$ D、 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = - 3$

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11. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，若 $A B = B C ， E ， F$ 分别是 $A B_{1}$ ， $B C_{1}$ 的中点，则下列结论中成立的是（）

A、EF与BB₁垂直 B、EF⊥平面BDD₁B₁ C、EF与C₁D所成的角为45° D、EF∥平面A₁B₁C₁D₁

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12. 函数 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = e^{- x} (x - 1)$ ，下列结论正确的有（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 1)$ B、函数 $f (x)$ 有且仅有3个零点 C、若 $m \leq e^{- 2}$ ，则方程 $f (x) = m$ 在 $x > 0$ 上有解 D、 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in R$ ， $| f (x_{2}) - f (x_{1}) | < 2$ 恒成立

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三、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{π}{6} + α) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{5 π}{6} - α) =$ .

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14. 已知 $X ～ N (1 ， σ^{2})$ ，若 $P (ξ < 2) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 2) =$ ．

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15. 写出一个包含有 $e^{x}$ 的偶函数 $f (x) =$ .

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16. 在空间中，定义“点到几何图形的距离”为：这个点到几何图形上各点距离中的最小值.现有边长为2的正方形 $A B C D$ ，则到定点 $A$ 距离为1的点围成的几何体的体积为；该正方形 $A B C D$ 区域（包括边界以及内部的点）记为 $Ω$ ，则到 $Ω$ 距离等于1的点所围成的几何体的体积为.

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} + 2 = 2 a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中 $， a ， b ， c$ 分别为角 $A ， B ， C$ 的对边，已知 $c = \frac{7}{2} ， △ A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2} ，$ 又 $tan A + tan B$ $= \sqrt{3} (tan A tan B - 1) .$

(1)、求角 $C$ 的大小；

(2)、求 $a + b$ 的值.

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19. 华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表.定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.

	购买华为	购买其他品牌	总计
年轻用户		28
非年轻用户	24		60
总计			100

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

(1)、请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？

(2)、若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为

X

，求

X

的分布列和数学期望.

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20. 已知边长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ （如图），现用一个平面 $α$ 截该正方体，平面 $α$ 与棱 $A A_{1}$ 、 $A B$ 、 $B C$ 分别交于点 $E$ 、 $F$ 、 $G$ .若 $A_{1} E = 2 E A$ ， $A F = 2 F B$ ， $C G = 2 G B$ .

(1)、求面 $α$ 与面 $A B C D$ 所成锐二面角的余弦值；

(2)、请在答题卷的第2个图中作出截面 $α$ 与正方体各面的交线，用字母标识出交线与棱的交点.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，左右顶点分别为 $A$ 、 $B$ ，右焦点为 $F_{2}$ ， $P$ 为椭圆上异于 $A$ 、 $B$ 的动点，且 $△ A P F_{2}$ 面积的最大值为 $1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $A P$ 与 $y$ 轴交于 $M$ 点，过点 $A$ 作 $B P$ 的平行线交 $y$ 轴与点 $N$ ，试探究是否存在定点 $Q$ ，使得以 $M N$ 为直径的圆恒过定点 $Q$ ．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - x + \sin x + a$ .

(1)、求 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的零点个数；

(2)、求证：当 $a \in [1 ， 3]$ 时， $f (x)$ 有且仅有2个不同的零点.

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