广东省佛山市顺德区2021届高三上学期数学第三次教学质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 若 $(1 - 3 i) z = 2 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$

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2. 设集合 $A = {x | - 1 < 2 - x < 3}$ ， $B = {x | x^{2} - 5 x + 4 > 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[1 ， 4)$ B、 $(1 ， 4)$ C、 $[1 ， 3)$ D、 $(- 1 ， 3)$

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3. 已知 $\sin α + \sqrt{3} \cos α = \frac{\sqrt{2}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{7 π}{6} - α) =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{34}}{6}$ D、 $- \frac{\sqrt{34}}{6}$

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4. 某地积极响应党中央的号召，开展扶贫活动，扶贫第x年该地区贫困户年人均收入y的部分数据如下表：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份编号x	1	2	3	4	5
年人均收入y（万元）	0.5	0.6	1	1.4	m

根据表中所给数据，求得y与x的线性回归方程为 $\hat{y} = 0.32 x + 0.08$ ，则2019年该地区贫困户的实际年人均收入为（）

A、1.65万元 B、1.68万元 C、1.7万元 D、1.8万元

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5. 已知直线 $l$ 经过双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一个虚轴端点以及一个焦点，且点 $O$ （ $O$ 为坐标原点）到直线 $l$ 的距离为 $\frac{c}{2}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 上存在两点 $P$ ， $Q$ 关于直线 $l ： a x - b y + 2 = 0 (a b > 0)$ 对称，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、1 B、8 C、2 D、4

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7. “六艺”源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼､乐､射､御､书､数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识竞赛活动，现有六位同学，每位同学准备了“六艺”中的一类相关知识，且各不相同，每位同学随机从这六类知识中抽取不同的一项参加回答，则恰有三位同学抽到自己准备的知识的概率为（）

A、 $\frac{1}{18}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{1}{4}$

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8. 已知三棱柱 $A B C - D E F$ ， $D A$ ， $D E$ ， $D F$ 两两互相垂直，且 $D A = D E = D F$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $B E$ ， $A B$ 边的中点， $P$ 是线段 $C A$ 上任意一点．过三点 $P$ ， $M$ ， $N$ 的平面与三棱柱 $A B C - D E F$ 的截面有以下几种可能：①三角形；②四边形；③五边形；④六边形．其中正确的是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、②③④

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二、多选题

9. 使 $\log_{2} (2 x - 3) < 2$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A、 $x > \frac{3}{2}$ B、 $x < \frac{3}{2}$ 或 $x > 3$ C、 $2 < x < 3$ D、 $3 < x < \frac{7}{2}$

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10. 设函数 $f (x) = e^{x} x^{2} - b$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增 B、当 $x = - 2$ 时， $f (x)$ 取得极小值 C、当 $f (x) = 0$ 只有一个零点时， $b$ 的取值范围是 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{4}{e^{2}} ， + \infty)$ D、当 $b = \frac{1}{2}$ 时， $f (x) = 0$ 有三个零点

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11. 已知函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x (a b \neq 0)$ ，则以下说法正确的为（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 可能为偶函数 C、若 $f (x)$ 在 $x = \frac{π}{4}$ 时取得极值，则函数 $g (x) = f (x + \frac{3 π}{4})$ 是奇函数 D、若 $(\frac{π}{4} ， 0)$ 是 $f (x)$ 图象的一个对称中心，则 $a = b$

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12. 数学中有许多形状优美､寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（）

A、“等腰四面体”每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形 B、“等腰四面体”的四个面均为全等的锐角三角形 C、三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体”的体积为 $2 \sqrt{95}$ D、三组对棱长度分别为a，b，c的“等腰四面体”的外接球直径为 $\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

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三、填空题

13. ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式中，第5项为常数项，则 $n =$ .

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14. 已知 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

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15. 若函数 $f (x) = \cos x - \frac{9}{2 π^{2}} x^{2}$ 的定义域为 $[- π ， π]$ ，则不等式 $f (x) > 0$ 的解集为．

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16. 已知直线 $l ： 2 x + y - 2 = 0$ 过抛物线 $C ： y^{2} = m x$ 的焦点 $F$ ，且与 $y$ 轴交于点 $P$ ， $M$ 是抛物线 $C$ 上一点， $O$ 为坐标原点， $F M$ 的中点 $Q$ 满足 $\vec{P Q} = λ (\frac{\vec{P M}}{| \vec{P M} |} + \frac{\vec{P O}}{| \vec{P O} |})$ ，则 $∠ P M F =$ ，点 $M$ 的坐标为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且 $2 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $4 a_{1}$ 的等差中项.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 ▲ ，求数列 ${a_{n} + b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .
请在①已知数列 ${b_{n}}$ 为递增的等差数列，其中 $b_{3} = 5$ ，且 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{5}$ 成等比数列，②数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $b_{7} = 13$ ，且 $b_{n + 2} + b_{n} = 2 b_{n + 1}$ ，③等差数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $b_{3} + b_{5} = 14$ ， $S_{9} = 81$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin A = \sqrt{3} a (1 - \cos C)$ .

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $A B = \sqrt{3}$ ， $\sin A = \frac{\sqrt{5}}{4}$ 延长 $A C$ 至 $D$ ，使 $C D = \sqrt{5}$ ，求 $B D$ 的长.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以 $A_{1} D_{1} D A$ 为轴截面有一半圆柱 $O O_{1}$ ，点 $E$ 为圆弧 $A D$ 的中点.

(1)、证明：平面 $A_{1} E D //$ 平面 $A B_{1} C$ .

(2)、求二面角 $E - A D_{1} - C$ 的正弦值.

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20. 已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点， $P$ 是椭圆 $C$ 上一点（异于 $A$ ， $B$ ），满足 $k_{P A} \cdot k_{P B} = - \frac{4}{9}$ ，且 $a = 6$ ．斜率为 $- 1$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $S$ ， $T$ 两点，且 $| S T | = 4$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程及离心率；

(2)、如图，设直线 $l_{1}$ ： $y = x + m$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点，求四边形 $M S N T$ 面积的最大值．

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21. 在某疫苗Ⅰ期临床研究中，按照研究方案要求，每位志愿者要在一次接种后的第7天、第14天和第30天各完成一次研究访视.每次访视，调查该志愿者是否有不良反应，若有，则记录本次访视有不良反应.若在这三次访视中，有不良反应的访视不超过1次，则该药物得6分，否则得2分.假设三次访视中，每次是否有不良反应相互独立，且每次有不良反应的概率均为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求某志愿者在一次接种，后有不良反应的访视次数 $X$ 的分布列和期望；

(2)、若参与实验的志愿者有 $K$ 名，在一次接种实验中该药物获得的总分数不低于 $4 K$ ，即可认为该疫苗通过Ⅱ期实验.现有8名志愿者参与接种实验，则该疫苗通过Ⅱ期实验的概率是多少？

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22. 已知函数 $f (x) = x \ln x$ ．

(1)、若函数 $f (x)$ 在 $[t ， t + 1] (t > 0)$ 上有极值，求 $t$ 的取值范围及该极值；

(2)、求使 $n (x - 1) < f (x) + x + 1$ 对任意 $x > 1$ 恒成立的自然数 $n$ 的取值集合．

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