广东省潮州市2021届高三上学期数学第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0}$ ，集合 $B = {x | x > 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 4)$ C、 $(2 ， 4)$ D、 $(0 ， 4)$

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2. 若复数 $z = m (m - 1) + (m - 1) i$ 是纯虚数，实数 $m =$ （）

A、1 B、0 C、0或1 D、1或-1

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3. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，直线 $A D$ 与直线 $B C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$ ，则该长方体的体积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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4. 为了研究某班学生的脚长 $x$ （单位：厘米）和身高 $y$ （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出 $y$ 与 $x$ 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，已知 $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 220$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 1610$ ， $\hat{b} = 4$ ，已知该班某学生的脚长为24厘米，据此估计其身高为（）厘米.

A、165 B、169 C、173 D、178

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5. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线与双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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6. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | \cdot (x + 1)$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = k$ 有两个不同的实数解，则实数 $k$ 的值为（）

A、0 B、1 C、0和-1 D、0和1

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7. 已知倾斜角为 $α$ 的直线 $l$ ： $y = k x - 2$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则 $\frac{1 - \cos 2 α}{\cos (\frac{π}{2} + α)}$ 的值为（）

A、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ C、 $- \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

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8. 已知四棱锥 $S - A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，底面 $A B C D$ 是正方形且和球心 $O$ 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其侧面积等于 $2 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的体积等于（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{8 π}{3}$ C、 $\frac{16 π}{3}$ D、 $\frac{22 π}{3}$

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二、多选题

9. 判断平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的条件可以是（）

A、平面 $α$ 内有无数条直线都与 $β$ 平行 B、直线 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ，且 $a / / β$ ， $b / / α$ C、平面 $γ / / α$ ，且平面 $γ / / β$ D、平面 $α$ 内有两条不平行的直线都平行于平面 $β$

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10. 下列判断正确的是（）

A、“ $a m^{2} > b m^{2}$ ”是“ $a > b$ ”的充分不必要条件； B、命题“ $\exists x \in R$ ，使 $x^{2} + x - 1 < 0$ ”的否定是：“ $\forall x \in R$ ，均有 $x^{2} + x - 1 > 0$ ”； C、若随机变量 $ξ$ 服从二项分布： $B (4 ， \frac{1}{4})$ ，则 $E (ξ) = 1$ ； D、若随机变量 $ξ$ 服从正态分布 $N (1 ， σ^{2})$ ， $P (ξ \leq 4) = 0.79$ ，则 $P (ξ \leq - 2) = 0.21$ .

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11. 将函数 $f (x) = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，则（）

A、函数 $f (x) + g (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{8} ， 0)$ . B、函数 $f (x) \cdot g (x)$ 是奇函数. C、函数 $f (x) + g (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上的单调递减区间是 $[\frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ . D、函数 $f (x) \cdot g (x)$ 的图象的一个对称轴方程为 $x = - \frac{π}{8}$ .

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12. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f' (x)$ 存在，且导函数 $f' (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数.记 $f'' (x) = (f' (x))'$ ，若 $f'' (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数.以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x - \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = - x e^{- x}$

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三、填空题

13. ${(x^{3} - \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中的常数项为.（用数字作答）

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14. 新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市，每市随机分配2名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为.

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15. 《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、小寒、大寒的日影子长的和是43.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立春的日影子长为尺.

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16. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x) = \frac{- 2^{x} + 1}{2^{x + 1} + m}$ 是奇函数，则不等式 $f (\log_{3} \frac{1}{x}) + f [\log_{3} (1 - x)] > 0$ 解集为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $a = 4$ ， $b = 2 \sqrt{7}$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{2} a c \cos B$ .
（Ⅰ）求 $\sin A$ 的值；

（Ⅱ）点 $D$ 在线段 $A B$ 上，满足 $2 \vec{B D} = \vec{D A}$ ，求线段 $C D$ 的长.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $2 a_{n} = S_{n} + n$ ， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和.
（Ⅰ）求证： ${a_{n} + 1}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，证明： $S_{n} < 1$ .

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19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影恰为点 $B$ ，且 $A B = A C = A_{1} B = 2$ .

（Ⅰ）证明：平面 $A_{1} A C ⊥$ 平面 $A B B_{1}$ ；

（Ⅱ）求二面角 $C_{1} - A B - A_{1}$ 的大小.

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20. 某芯片公司对今年新开发的一批 $5 G$ 手机芯片进行测评，该公司随机调查了100颗芯片，并将所得统计数据分为 $[9 ， 10)$ ， $[10 ， 11)$ ， $[11 ， 12)$ ， $[12 ， 13)$ ， $[13 ， 14]$ 五个小组（所调查的芯片得分均在 $[9 ， 14]$ 内），得到如图所示的颇率分布直方图，其中 $a - b = 0.18$ .

（Ⅰ）求 $a$ ， $b$ 的值，并求这100颗芯片评测分数的中位数（结果保留小数点后两位）；

（Ⅱ）芯片公司另选100颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片先后分别装在3个工程手机中进行初测，若3个工程手机的评分都不少于11万分，则认定该芯片合格；若3个工程手机中只要有2个评分没达到11万分，则认定该芯片不合格；若3个工程手机中仅1个评分没有达到11万分，则将该芯片再分别置于另外2个工程手机中进行二测，二测时，2个工程手机的评分都不少于11万分，则认定该芯片合格；2个工程手机中只要有1个评分没达到11万分.手机公司将认定该芯片不合格.已知每颗芯片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的评分方法及标准都一致（以频率作为概率）.每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为300元，每颗芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为10万元，试问预算经费是否足够测试完这100颗芯片？请说明理由.

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21. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， $P (2 \sqrt{2} ， 0)$ 、 $Q (1 ， \frac{\sqrt{7}}{2})$ 是椭圆 $C$ 上的两点.
（Ⅰ）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）是否存在直线与椭圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，交 $y$ 轴于点 $M (0 ， m)$ ，使 $| \vec{O A} + 2 \vec{O B} | = | \vec{O A} - 2 \vec{O B} |$ 成立？若存在，求出实数 $m$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x - (m + 2) x$ ， $h (x) = - m x^{2} - 2$ .
（Ⅰ）讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）设 $m > 0$ ，若存在 $x \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，使得不等式 $f (x) < h (x)$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

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