广东省2021届高三上学期数学第二次质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {x | x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x | - 1 \leq x < 2}$ D、 ${x | - 1 < x < 2}$

查看试题解析
2. 在复平面内，复数 $\frac{| 3 - 4 i |}{1 + 2 i}$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (2, 2)$ ， $\vec{b} = (1, x)$ ，若 $\vec{a} // (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、10 B、2 C、 $\sqrt{10}$ D、 $\sqrt{2}$

查看试题解析
4. 已知命题 $p ： \forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\sin x \geq x + \frac{1}{x}$ ，命题 $q ： \exists x \in R$ ， $e^{x} < 1$ ，则下列为真命题的是（）

A、 $p \land (\neg q)$ B、 $(\neg p) \land (\neg q)$ C、 $(\neg p) \land q$ D、 $p \land q$

查看试题解析
5. 爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位： $kg$ )情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（）

A、他们健身后，体重在区间 $[90 ， 100)$ 内的人数增加了4个 B、他们健身后，体重在区间 $[100 ， 110)$ 内的人数没有改变 C、因为体重在 $[100 ， 110)$ 内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响 D、他们健身后，原来体重在区间 $[110 ， 120)$ 内的肥胖者体重都有减少

查看试题解析
6. 设 $α$ 为锐角，若 $\cos (α + \frac{π}{6}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (\frac{π}{6} - 2 α)$ 的值为（）．

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $\frac{12}{25}$ C、 $- \frac{24}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

查看试题解析
7. 《九章算术》是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有五个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在此题中，任意两人所得的最大差值为多少？（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

查看试题解析
8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x + 1} ， x \leq 1 \\ \log_{2} (x + 1) ， x > 1 \end{array}$ 在 $(- \infty ， a]$ 上的最大值为4，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $[1 ， 15]$ D、 $[0 ， 15]$

查看试题解析

二、多选题

9. 如图是函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ ( $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ )的部分图象，将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，则下列命题正确的是（）

A、 $y = g (x)$ 是奇函数 B、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴是直线 $x = k π + \frac{π}{4}$ $(k \in Z)$ C、函数 $g (x)$ 的图象的对称中心是 $(\frac{k π}{4} ， 0)$ $(k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{4} ， k π + \frac{3π}{4}]$ $(k \in Z)$

查看试题解析
10. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）.根据统计图分析，下列结论正确的是（）

A、当 $x \in [0 ， 2)$ 时有害垃圾错误分类的重量加速增长 B、当 $x \in [2 ， 4)$ 时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 C、当 $x \in [4 ， 6)$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [2 ， 4)$ 时增长了30% D、当 $x \in [6 ， 8]$ 时有害垃圾错误分类的重量相对于当 $x \in [0 ， 2)$ 时减少了1.8吨

查看试题解析
11. 在公比 $q$ 为整数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} + a_{4} = 18$ ， $a_{2} + a_{3} = 12$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 2$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{8} = 510$ D、数列 ${\lg a_{n}}$ 是公差为2的等差数列

查看试题解析
12. 太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ ，则下列说法中正确的是（）

A、函数 $y = x^{3}$ 是圆O的一个太极函数 B、圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C、函数 $y = \sin x$ 是圆O的一个太极函数 D、函数 $f (x)$ 的图象关于原点对称是 $f (x)$ 为圆O的太极函数的充要条件

查看试题解析

三、填空题

13. 已知 $f (x)$ 为奇函数，当 $x < 0$ 时 $， f (x) = e x^{3} + 2 e^{- x} ，$ 则曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程是.

查看试题解析
14. 若 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中第四项为常数项，则n=.

查看试题解析
15. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} + \vec{A C} = 2 \vec{A M} ， | \vec{A M} | = 1$ ，动点 $P$ 在 $△ A B C$ 内，则 $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是(结果用最简分数表示).

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $D$ 是边 $B C$ 上一点， $A D = \sqrt{2}$ ， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ， $∠ D A C = \frac{5 π}{12}$ .

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、求 $△ A B D$ 的面积.

查看试题解析
18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $2 a_{n} - S_{n} = 1 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} (1 + S_{n})$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 设三角形 $A B C$ 的内角 $A$ ､ $B$ ､ $C$ 所对的边长分别是 $a$ ､ $b$ ､ $c$ ，且 $\sin^{2} B + \cos^{2} C = \sin^{2} A - \sin A \sin C + 1$ .

(1)、求 $B$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 不是钝角三角形，求 $\frac{2 a}{c}$ 的取值范围.

查看试题解析
20. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是前 $n$ 项和，且 $a_{2} + a_{6} = 16$ ， $S_{5} = 30$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求 $T_{n}$ 的取值范围.

查看试题解析
21. 已知 $a$ 是常数，函数 $f (x) = (x - a \ln x) \ln x - x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 在区间 $(0 ， + \infty)$ 上的单调性；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，证明： $f (e^{a}) > - 1$ ．

查看试题解析
22. 2019年3月5日，国务院总理李克强作出的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”．教育部2014年印发的《学术论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学术论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含3位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学术论文，将再送另外2位同行专家（不同于前3位专家）进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学术论文，将认定为“存在问题学术论文”．设每篇学术论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为 $p (0 < p < 1)$ ，且各篇学术论文是否被评议为“不合格”相互独立．

(1)、若 $p = \frac{1}{2}$ ，求抽检一篇学术论文，被认定为“存在问题学术论文”的概率；

(2)、现拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的总评审费用1500元；若某次评审抽检论文总数为3000篇，求该次评审费用期望的最大值及对应 $p$ 的值．

查看试题解析