广东省2021届高三上学期数学12月阶段性质量检测试卷

试卷更新日期：2021-09-29 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - 3 x < 0}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(0 ， 2]$ B、 $[- 2 ， 0)$ C、 $[- 2 ， 3)$ D、 $(- 2 ， 3)$

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2. 已知复数 $z = \frac{2 i}{1 + i} + i^{5}$ ，则 $| z | =$ （）

A、3 B、 $\sqrt{5}$ C、2 D、1

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3. 《九章算术》是我国古代最著名的数学著作，成书于公元一世纪，分为方田、粟米、方程勾股等九章．卷一《方田》中记载了圆形、扇形、弓形等八种几何图形面积计算方法：如圆的面积计算“径自相乘，三之，四而”．意思是圆的面积为“直径平方，乘以三，再取四分之一”，则这里的圆周率为（）

A、3 B、3.1 C、3.14 D、3.1416

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4. 实数x，y满足 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $x + y > 2 \sqrt{x y}$ B、 $\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \geq \sqrt{x y}$ C、 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} \leq \frac{4}{x + y}$ D、 $\sqrt{| x - y |} \geq \sqrt{x} - \sqrt{y}$

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5. 数学与文化有许多奇妙的联系，如诗词中有回文诗回文联“上海自来水来自海上”，既可以顺读又可以逆读数学中有回文数，如“343，12521”，两位数的回文数11，22，33等，则三位数的偶数回文数的个数为（）

A、40 B、45 C、50 D、54

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6. 已知点F为抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $(2，0)$ 的直线与抛物线交于A，B两点，则 $\vec{F A} \cdot \vec{F B}$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 7]$ B、 $(- \infty ， - 8]$ C、 $(- 10 ， - 7]$ D、 $(- 8 ， - 7]$

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7. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2 b$ ， $3 \sin B = 2 \sin C$ ，则 $\frac{\sin B + 2 \sin C}{\sin 2 A} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、4 C、 $- \frac{5}{13}$ D、-4

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8. 若函数 $y = f (x - 2)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称， $f (x)$ 对任意的实数 $x$ 都有 $f (x + 4) - f (x) = 2 f (2)$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $f (2022) + f (2021) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、多选题

9. 方程“ $(\log_{m} 3) x^{2} + (\log_{n} 3) y^{2} = 1$ ”表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（）

A、 $1 < n < m$ B、 $1 < m < n$ C、 $1 < m < 3 < n$ D、 $3 < m < n$

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10. 如图，在三棱锥A-BCD中， $C D ⊥ B C$ ， $A B ⊥ B D$ ，平面 $A B C ⊥$ 平面BCD，则下列判断中正确的有（）

A、 $C D ⊥ A C$ B、 $A B ⊥$ 平面BCD C、 $A D ⊥ B C$ D、图中恰有三对平面互相垂直

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11. 函数 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x (a > 0)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为奇函数，则关于函数 $f (x)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $2 a$ B、 $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的图象的一个对称中心为 $(\frac{π}{3} ， 0)$ D、 $f (x)$ 的一个递增区间为 $[- \frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$

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12. 在平面四边形ABCD中， $△ A B C$ 的面积是 $△ A D C$ 的面积的3倍，又数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 6$ ，当 $n \geq 2$ 时恒有 $\vec{A C} = (a_{n - 1} + 3^{n - 1}) \vec{A B} + (a_{n} - 3^{n}) \vec{A D}$ ，设数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．则下列判断正确的是（）

A、数列 ${a_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n}}$ 为递增数列 C、数列 ${\frac{a_{n}}{3^{n}}}$ 为等比数列 D、 $S_{n} = (n - \frac{1}{2}) 3^{n + 1} + \frac{3}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a \ln (x + 2) - 2 x^{2}$ 的图象在点 $(- 1 ， f (- 1))$ 的切线与直线 $x + 3 y + 1 = 0$ 垂直，则．

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14. 冬天是鼻炎和感冒的高发期，某人在冬季里鼻炎发作的概率为0.96，鼻炎发作且感冒的概率为0.84，则此人在鼻炎发作的情况下，感冒的概率为．

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15. 已知A，B，C是球O球面上的三点， $A C = B C = 6$ ， $A B = 6 \sqrt{3}$ ，且四面体OABC的体积为 $24 \sqrt{3}$ ，则球O的表面积为．

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16. 已知双曲线 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左，右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线 $T$ 右支上一点 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线交 $x$ 轴于点 $M$ ， $| P M | = c$ （ $c$ 为半焦距），且 $2 \vec{O M} = \vec{M F_{2}}$ （点 $O$ 为坐标原点），则双曲线 $T$ 的离心率为．

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + t n$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{4}$ ， $a_{8}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 2}}$ 求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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18. 在 $△ A B C$ 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $(2 a - c) \cos B = b \cos C$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、现给出三个条件① $a = 2 c$ ；②AC边上的中线BD长为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ ；③角B的平分线交边AC于M，且 $B M = 1$ ．从中选出两个可以确定 $△ A B C$ 的条件，写出您的选择，并以此为依据求出 $△ A B C$ 的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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19. 随着生活节奏的加快以及生活环境的影响外卖点餐逐渐成为餐饮的快捷消费习惯，由此产生了一批外卖平台已知某外卖点餐平台只做5种价格订制套餐外卖，套餐最低20元，最高80元．现从该平台随机抽取一天中100份点餐进行统计按点餐价格统计结果如下：

点餐价格（单位：元）

20

30

40

60

80

点餐份数

15

30

30

20

5

如以这批用户在各点餐价格的频率视为在该点餐价格的概率．

(1)、若此外卖平台一天的点餐总收入为40000元，试估计该平台一天用户的点餐份数；

(2)、该平台为了促进消费推出“你吃饭我买单的送红包活动活动．规则为：每点一份套餐付款后即返还一个现金红包，红包有三种：5元红包获奖率为80%，30元红包获奖率为15%，60元红包获奖率为5%．
（i）假设返还的红包金额大于等于付款金额，即为客户吃免费套餐．求该平台在活动期间客户一次消费中吃免费套餐的概率．

（ii）若该平台不开展促进消费活动卖出一份套餐利润为50%，设该平台在活动期间卖出一份套餐所得利润为X，求X的期望．

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20. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 4$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ， $B C ⊥ A C$ ，平面 $A A_{1} B_{1} B ⊥$ 平面ABC，E，F分别为AB， $B_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $A_{1} A C C_{1}$ ；

(2)、若二面角 $A_{1} - A C - B$ 的正切值为2，求锐二面角C-EF-B的余弦值．

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21. 如图所示，已知A，B，C是焦距为4的椭圆 $G ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆的中心且 $\vec{B C} \cdot \vec{B A} = 0$ ， $| \vec{B C} | = 2 | \vec{B A} |$ ．

(1)、求椭圆G的方程；

(2)、过椭圆G上异于顶点的任意一点P作圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ 的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN与x轴，y轴分别交于点E，F，当 $△ E O F$ 的面积最小时求 $△ P M N$ 与 $△ E O F$ 的面积之比．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - 2 (a + 1) x + \frac{3}{2}$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{2} + 2 {(a + 1)}^{2}$ 对 $x \in [0 ， + \infty)$ 恒成立，求a的取值范围．

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点餐价格（单位：元）	20	30	40	60	80
点餐份数	15	30	30	20	5